本文作者：北京市十一學校數學建模協會張健宸、宋敏正同學，[遇見] 授權轉發并略有調整。

“記住，數學是一門感性驅動的學科。說數學是理性驅動的那叫應試，那不叫數學，能不能理解？”每次在課前，朱浩楠老師總是會反複強調着這一句話，“真正的數學是你發現了一個無法解決的問題，你對它感興趣，要解決它，為此你可能要下新的定義或推新的公式，這才叫數學，數學也是就此發展的。”

好奇心是個體遇到新奇事物下所産生的注意、操作、提問的心理傾向，是個體學習的内在動機之一，是個體尋求知識的動力。

回顧數學史，一個又一個理論正是在那一位位數學家尋求新奇知識的過程中建立并拓展的。

公元前 500 年，偉大的數學家畢達哥拉斯認為世界上隻存在整數和分數，除此之外就沒有任何其他的數。但是很快，一個新奇的問題出現了：當一個正方形的邊長是 1 的時候，對角線的長 m 等于多少？是整數呢，還是分數？畢達哥拉斯和他的門徒費盡心思也不知道這個 究竟是什麼數。世界上除了整數和分數以外還有沒有别的數？

這個問題引起了學派成員希帕索斯(Hippasus)的興趣，他花費了很多的時間去鑽研，最終希帕索斯斷言：m 既不是整數也不是分數，是當時人們還沒有認識的新數。就這樣，無理數的雛形出現在了曆史的舞台。

Credit: Jeffrey Phillips

無理數的應用可不僅僅用于計算對角線的長度這麼簡單。如常見的無理數Π。Π是能精确計算圓的周長、面積，球的體積等幾何形狀的關鍵值。它現在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特别是運算速度與計算過程的穩定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，當Intel公司推出奔騰（Pentium）時，正是通過運行 π 的計算而找到它的一點小問題。這正是超高精度的 π 計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。

然而，就算有理數和無理數已經問世，還是無法解決一個問題 —— 代數方程的求解問題。像 x² 1=0 這樣最簡單的二次方程，就算代入所有的無理數和有理數，原方程還是沒有解。

12 世紀的印度數學家婆什伽羅認為這個方程是沒有解的。因為正數的平方一定是正數，負數的平方也一定是正數，因此，一個正數的平方根有一個正數和一個負數，而負數沒有平方根，所以這個方程沒有解。這等于不承認方程的負數平方根的存在。

1545 年意大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝複興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式。形如： x³ ax b=0 三次方程解如下：

當卡爾達諾試圖用該公式解方程 x³-15x-4=0 時他的解是：

在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡爾達諾的公式給出 x=(2 j) (2-j)=4，易證。并把(-121)^(1/2) 數記為 1545R15-15m，這便是最早的虛數記号。但他認為這僅僅是個形式表示而已，并不關心 (-121)^1/2 的出現的原因，認為其隻是“不可捉摸而無用的東西”，因而錯失了對虛數進行進一步探索的大好機會。

結果直到 19 世紀初，高斯系統地使用了 i 這個符号，并主張用數對(a、b)來表示 a bi，稱為複數，并推廣了複平面的概念——在直角坐标系裡，點 z 的橫坐标是 a，縱坐标是 b，複數 z=a bi 可用點 Z(a,b)來表示，這個建立了直角坐标系來表示複數的平面叫做複平面，x 軸為實軸，y 軸除去原點的部分稱為虛軸。這給予其幾何意義，使複數有了立足之地，虛數才逐步得以通行，建立了複變函數(以複數作為自變量和因變量的函數)的廣泛理論。

▲ 與其共轭 在複平面中的幾何表示。從原點到點 z 的箭頭是 z 的模長或絕對值。角 是 z 的輻角

如果錯失了虛數，這對于數學史的發展影響巨大。第一個層面是對于數學本身的影響。如果不引入虛數的概念後，數學就會仍存在一些邏輯上可能的漏洞。

比如說，在實數的範圍内，x² 1=0 是無解的，這樣一來，有的多項式方程有解，有的無解，數學就不完美了。引入一個虛拟的概念，虛數 i，就讓所有的方程都變得有解了。更完美的是，引入虛數的概念後，所有的一元 n 次方程都會有 n 個解，沒有例外。

第二個層面是影響數學複雜問題的解法。虛數作為數學工具最大的用途可能是便于将直角坐标變成極坐标。極坐标是指在平面内取一個定點 O，叫極點，引一條射線 Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面内任何一點 M，用 ρ 表示線段 OM 的長度，θ 表示從 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做點 M 的極徑，θ 叫做點 M 的極角，有序數對 (ρ,θ)就叫點 M 的極坐标，這樣建立的坐标系叫做極坐标系。

▲ 極坐标下 r=|sinkθ| 圖像

一般來講，在飛行、航海等場景裡，極坐标更方便使用。比如我們說往兩點鐘的方向飛行 20 公裡，這就是極坐标的描述方式。在極坐标的計算中，如果隻用實數，非常複雜，如果引入虛數，就極為簡單。

所以，總覽數學的發展曆程，對科學規律的“感性驅動”對于科學的基礎研究是必不可缺的。因此，時常對科學研究與發現保持一顆熱枕的心，無論對于埋頭研究的科學家，或是寒窗苦讀的我們都能在對科學的學習探索中學有所成。

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