先簡單說下自己數學的一輪規劃。這個學科我打算分三個流程來搞。

流程一：整理。以知識點的編排順序為基礎，分章節做歸納和整理。

做歸納和整理主要是為了保證自己在校的有效學習，以及提高對知識點的理解掌握。

這部分素材來源于一輪教材、老師授課和我先前的一點小積累。

流程二：做題。純粹以解題為目的，以題目為根基做總結。

題目來源包括但不限于800、必刷題、高考真題。

提幾句，800的編排很有想法，适合用來做初始化的整理。

必刷題起手難度比較大，可以當作檢驗和提升的資料。高考真題主要指導數大題，這塊800編得不好，可以自己找。

比如雙變量就找近十年的天津卷，因為曆年全國卷的考察還是以單變量為主。

三維設計這本書總結得很散，不全，但部分題目選的不錯。

如果你們學校已經在用了，可以直接拿它當一輪的核心資料來做。如果沒有就算了，沒有特别購入的必要，用其他的也差不多。

反正一輪教材都這樣。

流程三：再整理。将知識點和題的總結内化，最後簡化成一份足以應考的内核資料。這個比較餅，由于水平有限，我暫時沒想好怎麼處理，還在摸索。

然後下面這個資料，是我在[集合與常用邏輯用語、不等式]專題做的知識點整理。你們可以拿來自己用，具體怎麼用我待會細說。

把這個發出來是因為，我最近在找教輔的時候，深刻地意識到了一點：人的思維是具有狹隘性的。也就是說，一個人能看到的東西是片面的。

無論哪本教輔、一輪書，哪位老師、學生，即使他們思維水平很高，也做了很好的總結歸納，但他們的認知肯定都是不全面的，不完善的……

先不把話說死，這個結論僅适用于市面上的大部分教輔、普通的學生和老師。也就是我能找到的，我能接觸到的。

所以這裡涉及到一個集優的思想，就是他人往往可以為自己做出很好的查漏補缺。于是，我會陸續将自己整理的資料搬到這裡。

主要目的是交流想法，尋求建議。當然，如果這能多少幫到你一點，我想也是好的。我所發布的所有資料都允許轉載，但要求标明原作者。

下接對應分段的使用建議。一、90以下分段

這份資料以知識點和結論為主，不涉及任何推導過程，或許不太适合你。你在當前應該将學習重心放在理解和消化基礎性的内容上。

這個基礎性内容怎麼來，你的老師和一輪教材都可以教給你。一輪教材就是現階段最好的課本。因此你沒有回歸課本原題的必要，畢竟上面肯定會有對應的改編。

再者，你做整理的水平肯定不及你的一輪教材和老師。

先乖乖地沉下心來，把東西弄懂。

記住一點：在一輪過完之前，你考什麼分數基本沒有意義。

也就是你考20分跟你考80分沒差别，無所謂。二、90-125分段

你可以把這份資料當作：1.一輪知識點速查手冊

2.構造自己知識體系的模闆

3.學完對應模塊後查缺補漏的資料

4.你們老師PPT的配套講義

5.沒資源庫能打的消遣讀物

三、125-135分段

你有自己的知識體系。因此，這份資料對你來說價值不高。并且，相對于我，你的學習方法效率更高。但若有興趣，你可以幫我做些查缺補漏。

比如某個知識點、某個結論，你有更優的解法，或者更有效的思維方式。

這些，歡迎随時同我交流。

函數這塊還在慢慢整理，但已經差不多了。過幾天會放上來。另外，高三的前輩們。高考加油。

集合與常用邏輯用語、不等式

模塊一 集合

集合的核心思想：分類讨論

集合基本運算的兩大工具：Venn圖法、數軸法

注意區間端點值的檢驗，不等式是否取等取決于端點值的取舍

不同類型集合的交集為空集

不限制元素取值的一元點集可視作直線，交集可視作直線交點，A∩B=∅即兩直線平行

集合問題的解題流程

1.确定集合[集合類型；元素的限制條件]

2.确定元素[得到元素最簡形式]

3.運算求解[交并補定義；數軸或Venn圖]

利用Venn圖求集合中的元素個數

解題思路：設未知數，列方程求解

怎麼做新定義問題

新定義問題的作用是篩選出細心的、閱讀理解能力強的人，不慌張、心态更穩的人。

隻要學會分析本質、按流程處理即可。

集合的新定義問題重在把握“集合的性質”。

·要點速記

1.有理數集：Q 複數集：C 最小的自然數是0

2.确定集合的子集或子集的個數

①由n個元素構成的集合有2n個子集

②由n個元素構成的集合有（2n-1）個真子集

③由n個元素構成的集合有（2n-1）個非空子集

④由n個元素構成的集合有（2n-2）個非空真子集

3.A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=A⇔A⊆B；(CUA)∩B=∅⇔B⊆A

4.CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

5.分類讨論、分段函數求并集，其餘均求交集

6.至少有一個不是空集→先求其全是空集，再求補集

·思維拓展

與集合有關的分類讨論問題有以下四類：

①集合所含元素具有互異性，對新集合元素進行互異性檢驗

②對已知集合的子集個數進行分類讨論

③分析某集合的子集/真子集是否為空集

[易錯(1)：A={-1,2}，B⊆A，則B={-1}或B={2}或B={-1,2}或B=∅，求并集]

④解含參數的不等式（或方程）時，對參數進行分類讨論

[易錯(2)：A={x|ax²-3x 2=0}中隻有一個元素，讨論a=0]

[易錯(3)：B={x|mx=1}是A集合的子集，讨論m=0]

模塊二 充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

常用邏輯用語的核心思想：等價轉化

判斷充要條件的兩種方法：定義法[是否互推]、集合法[包含關系]

①要分清條件和結論分别是什麼

②要從充分性、必要性兩個方面進行判斷

③直接判斷比較困難時，可舉出反例說明

全稱命題與特稱命題的否定步驟：改寫量詞、否定結論

①對沒有量詞的命題要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞

②全稱命題的改寫用x，特稱命題的改寫用x0

求參數範圍記得加上題幹對參數的取值限制

·要點速記

1.小範圍⇒大範圍[“小”必須為“大”的非空真子集][小可推大，大不可推小]

2.設p,q成立的對象構成的集合分别為A,B

①p是q的充分不必要條件⇔A⊊B

②p是q的必要不充分條件⇔B⊊A

③p是q的充要條件⇔A=B

3.A是B的充分不必要條件(A⇒B且B⇏A)；A的充分不必要條件是B(B⇒A且A⇏B)

[速記：x是x的xxx[正推]；x的x是xxx[逆推]]

4.互為逆否關系的命題同真假同結論

[逆否命題：“若p則q”和“若¬q則¬p”]

·思維拓展

雙變量“存在性或任意性”問題

此類問題可等價轉化為探究兩個函數值域或最值之間的關系。

若兩個函數之間為等量關系，即為值域關系；若兩個函數之間為不等關系，即為最值關系。

類型一 對∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔函數f(x)值域是g(x)值域的子集

類型二 對∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)與g(x)值域的交集不為空集[補集思想]

類型二-變式 對∀x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)與g(x)值域相等

類型三 對∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]min＞[g(x)]min

類型三-變式 對∀x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]min＞[g(x)]max

類型三-變式 對∃x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]max＞[g(x)]max

類型三-變式 對∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]max＞[g(x)]min

模塊三 不等關系與一元二次不等式

重難點：不等式的性質及應用

解：不等式

解集：描述法或區間

比較大小的兩種途徑：作差法、作商法

作差法：通分、因式分解、配方等

作商法：分母/分子有理化、指對數恒等變形等

①優先将原式整理化簡再考慮作差作商

②作商法應首先确認a,b符号，結論僅同号成立

不等式的基本性質

1.對稱性 2.傳遞性 3.同向可加性 4.同向同号可乘性 5.同正可乘方 6同正可開方

①同向不等式可以相加，不能相減

②同乘正數不等号方向不變，同乘負數不等号方向改變

處理一元二次方程的基本方法：十字相乘法、求根公式法

一元二次不等式：配方 數形結合 含參一元二次不等式：分類讨論

恒成立問題：分類讨論、分離參數、主元法(知參恒成立求x)

[二次函數速解：f(x)≤0在[a,b]恒成立→聯立f(a)≤0，f(b)≤0，取交集]

[前提條件：f(x)為二次函數且開口向上(二次項系數為正實數或正參數)]

·要點速記

1.已知二次函數解集→已知兩根[首選韋達處理，次選方程組法]

2.a＜b且1/a＜1/b⇔a＜0＜b

3.分數性質：同加趨近1，同減遠離1

4.簡單分式不等式乘除互換：若可取等，注意分式對定義域的限制；若不取等，可直接互推

5.韋達定理二級結論：|x1-x2|=√Δ/|a|

6.對于開口确定的二次函數動軸動區間問題，優先選用[速解]

7.若已知二次函數的兩個零點，可直接用兩根法表示該函數[f(x)=a(x-m)(x-n)]

8.待定系數法有時可用于配湊不等式，并結合不等式的基本性質解題

9.再次強調！端點值單獨考慮！

·思維拓展

一、解不等式問題歸納

[集合]通常與[不等式]結合進行考察

1.一元二次不等式：配方 數形結合

2.含絕對值不等式：零點分段法

3.分式不等式：移項、通分、化整式、變正号

4.簡單高次不等式：數軸标根、奇穿偶回[右上起]

5.指對數不等式：指數取對數，對數化同底

6.三角不等式：結合圖象數形結合

二、多項式快捷拆分

原理：利用平方差、完全平方等基礎公式，使項内部分代數式合并相乘

如(m-x 1)(m x)可看作(m-x)(m x) (m x)

模塊四 基本不等式

基本不等式的核心思想：結構意識、整體思想

基本不等式：√ab≤(a b)/2

①一正二定三相等

②(a b)/2為算數平均數，√ab為幾何平均數

③積定和最小，和定積最大

④重要不等式：a² b²≥2ab[解三角形最值問題]

利用基本不等式求最值

1.配湊法：代數式的靈活變形、添項拆項

2.常數代換法：巧用1相乘/相除

3.消元法：代數式中變量較多(或者你真的做不出來了)

4.多次利用基本不等式：注意取等号條件的一緻性

5.部分題目可先部分化簡(如通分/有理化/兩側平方)，後進行配湊，解法較為靈活

6.部分題目在配湊時涉及不等式的性質及應用，要求精準處理

7.若a,b同正且和/積為定值，則對兩者取值範圍已存在隐藏限制條件

8.求解實際應用類問題要注意是否取等，若不可取等則利用對勾函數單調性求解

9.對變量給出限制條件時，應注意不等号方向(即a,b為正或為負)

10.(a² b²)最值：消元法

壓軸：x y=(1/x) (4/y) 8，x,y＞0，求(x y)min

①配湊[觀察結構:同乘(x y)]：(x y)²=(y/x) (4x y) 5 8(x y)≥9 8(x y)

設(x y)為t，t²-8t-9≥0，即(t-9)(t 1)≥0，t≥9

②巧用1：(x y)=1/8(x y)(x y-(1/x)-(4/y))

·思維拓展

平方平均數Qn= 算數平均數An= 幾何平均數Gn= 調和平均數Hn=

Hn≤Gn≤An≤Qn[取等條件：當且僅當a=b]

靈活應用這些不等關系，可快速處理關于基本不等式的多項選擇題

[注：靈活應用指适當變形，如設a為√a，設b為1/b等]

拓展模塊 線性規劃

線性規劃的核心思想：數形結合

線性規劃問題：求目标函數在約束條件下的最值問題

線性規劃問題基本解題流程

①作出平面區域

②将目标函數轉化為斜截式

③作一條基準線，平移

※看清直線和直線的相對位置關系[平緩或陡峭]

線定界，點定域；确認虛實，優選原點

一個最優解：通常在可行域的頂點處取得

多個最優解：一般在可行域的邊界上取得

ax by=z：b＞0,上移z增下移z減；b＜0,上移z減下移z增

線性規劃中的參數問題：讨論參數取值，分别畫出可行域

線性規劃的實際應用：通常設兩種産品件數為x,y；總利潤為目标函數z

·思維拓展

線性規劃問題的轉化思想

1.點(m,n)在不等式ax by c＞0所表示的平面區域内→(m,n)代入不等式求解

2.點(x1,y1)和點(x2,y2)在直線ax by c=0的兩側→兩點代入方程異号

3.某三角形平面區域被過其頂點的直線l分為面積相等的兩部分→直線l過底邊中點

4.直線x=a将平面區域分為面積之比為1:4的兩部分→先求總面積，再得到對應面積求參

5.二元一次目标函數取得最小值的最優解有無數個→對應直線與可行域邊界重合

6.非線性目标函數的最值（幾何意義）

①z=y/x (斜率) ②z=x² y²(距離) ③z=x-y (截距)

高考新題型：多項選擇

直接法、特值法、反證法、數形結合法

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