在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為AC的中點．
（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，将線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明；
（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．
圖1
【涉及考點】全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．
【解題分析】
（1）延長DF交AB于點G，根據三角形中位線的判定得出點G為AB的中點，根據中位線的性質及已知條件AC＝BC，得出DC＝DG，從而EC＝FG，易證∠1＝∠2＝90°﹣∠DFC，∠CEF＝∠FGH＝135°，由AAS證出△CEF≌△FGH．∴CF＝FH．
（2）通過證明△CEF≌△FGH（ASA）得出．
【詳細解答】解：（1）FH與FC的數量關系是：FH＝FC．
證明如下：延長DF交AB于點G，
圖2
由題意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，
∴DG∥CB，
∵點D為AC的中點，
∴點G為AB的中點，且DC=1/2AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴DG=1/2BC．
∵AC＝BC，
∴DC＝DG，
∴DC﹣DE＝DG﹣DF，
即EC＝FG．
∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，
∴∠1 ∠CFD＝90°，∠2 ∠CFD＝90°，
∴∠1＝∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DGA＝45°，
∴∠CEF＝∠FGH＝135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF＝FH．
（2）FH與FC仍然相等．
理由：由題意可得出：DF＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA＝∠FGB＝45°，
∴∠FGH＝∠CEF＝45°，
∵點D為AC的中點，DF∥BC，
∴DG＝1/2BC，DC＝1/2AC，
∴DG＝DC，
∴EC＝GF，
∵∠DFC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FCE，
在△FCE和△HFG中
角CEF=角FGH,EC=GF,角ECF=角GFH
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF＝FC．
圖3
【總結】
這道題主要考查了全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識，綜合性強，難度較大．
圖4
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