tanx的導數是(secx)^2，即正切的導數是正割的平方。我們可以嘗試用導數的定義公式來求，也可以借用商的求導公式來求這個導數。
先試試用導數的定義公式f'(x)=lim(h->0) ((f(x h)-f(x))/h)，因此(tanx)'=lim(h->0) ((tan(x h)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx tanh)/(1-tanxtanh)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx tanh)-(tanx-(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh)))=lim(h->0)(((tanh (tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh))). 這裡要應用lim(h->0)(tanh/h)=1，可以得到(tanx)'=lim(h->0)((1 (tanx)^2)/(1-tanxtanh))=1 (tanx)^2=(secx)^2。
以上就是利用導數的定義公式求正切的導函數的過程，相對比較繁，所以一般不會用這種方法去推出tanx的導數，而是利用商的求導公式來求這個導函數。
商的導數公式是：當函數u(x)和v(x)都可導，且v(x)不等于0時，導數(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-v'(x)u(x))/(u(x))^2。即分數（即商）的導數，分母的平方做導數的分母，分子的導數乘以分母減去分母的導數乘分子做導數的分子。
因為tanx=sinx/cosx，符合商的概念，因此tanx的導數就是求正弦和餘弦的商的導數。分母cosx的平方做導數的分母，分子sinx的導數cosx乘以分母cosx，即cosx的平方，減去分母cosx的導數-sinx乘分子sinx，即減去-sinx的平方，做導數的分子。分子=(cosx)^2-(-(sinx)^2)=(cosx)^2 (sinx)^2=1. 因此tanx的導數等于1/(cosx)^2=(secx)^2.
顯然，利用商的導數公式求tanx的導數要更簡便，但千萬不要因為這樣就忽視了第一種方法。學數學，什麼方法都要盡量掌握，這就像吃飯一樣，不可以挑食，這樣才能充分吸收數學的養分。
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