1.定義：一般地，如果y=ax² bx c（其中a，b，c是常數，a≠0），那麼y叫做x的二次函數.

2.二次函數y=ax²的性質

（1）抛物線y=ax²的頂點是坐标原點，對稱軸是y軸.

（2）函數y=ax²的圖像與a的符号關系.

①當a>0時Û抛物線開口向上Û頂點為其最低點；

②當a<0時Û抛物線開口向下Û頂點為其最高點.

（3）頂點是坐标原點，對稱軸是軸的抛物線的解析式形式為y=ax²（a≠0）.

3.二次函數 y=ax² bx c的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的抛物線.

4.二次函數y=ax² bx c用配方法可化成：

y=a（x - h）² k的形式，其中

5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①y=ax²；

②y=ax² k；

③y=a（x - h）²；

④y=a（x - h）² k；

⑤y=ax² bx c.

6.抛物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符号決定抛物線的開口方向：

當a>0時，開口向上；

當a<0時，開口向下；

|a|相等，抛物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=h.特别地，y軸記作直線x=0.

7.頂點決定抛物線的位置.

幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那麼抛物線的開口方向、開口大小完全相同，隻是頂點的位置不同.

8.求抛物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：

∴頂點是:

對稱軸是直線:

（2）配方法：運用配方的方法，将抛物線的解析式化為y=a（x-h）² k的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x=h.

（3）運用抛物線的對稱性：由于抛物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是抛物線的對稱軸，對稱軸與抛物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.

9.抛物線y=ax² bx c中，a、b、c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與y=ax²中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定抛物線對稱軸的位置.由于抛物線y=ax² bx c的對稱軸是直線

，故：

①b=0時，對稱軸為y軸；

②

（即a、b同号）時，對稱軸在y軸左側；

③

（即a、b一号）時，對稱軸在y軸右側.

（3）c 的大小決定抛物線y=ax² bx c與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c，∴抛物線y=ax² bx c與y軸有且隻有一個交點（0，c）：

①c=0，抛物線經過原點;

②c>0，與y軸交于正半軸；

③c<0，與y軸交于負半軸.

以上三點當結論和條件互換時仍成立.如抛物線的對稱軸在y軸右側，則

10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：

11.用待定系數法求二次函數的解析式

（1）一般式：y=ax² bx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點式：y=a（x - h）² k .已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐标x1、x2，通常選用交點式:y=a(x-x1)(x-x2).

12.直線與抛物線的交點

（1）y軸與抛物線y=ax² bx c得交點為(0, c).

（2）與y軸平行的直線X=h與抛物線y=ax² bx c有且隻有一個交點（h, ah² bh c）

（3）抛物線與軸的交點

二次函數y=ax² bx c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐标x1、x2，是對應一元二次方程ax² bx c=0的兩個實數根.抛物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判别式判定：

①有兩個交點Û△>0Û抛物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）Û△=0Û抛物線與x軸相切；

③沒有交點Û△<0Û抛物線與軸相離.

（4）平行于軸的直線與抛物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐标相等，設縱坐标為k，則橫坐标是ax² bx c=k的兩個實數根.

（5）一次函數y=kx n(k≠0)的圖像L與二次函數y=ax² bx c(a≠0)的圖像G的交點，由方程組

的解的數目來确定：

①方程組有兩組不同的解時L與G有兩個交點;

②方程組隻有一組解時L與G隻有一個交點；

③方程組無解時L與G沒有交點.

（6）抛物線與x軸兩交點之間的距離：若抛物線y=ax² bx c與x軸兩交點為A(x1,0),B(x2,0)，由于x1、x2是方程ax² bx c=0的兩個根，故

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