九年級數學上冊知識要點

第一章 證明（二）

一、公理

1、三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

2、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

3、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

4、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。

推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性質

（ 1 ）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）。

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相 重合（三線合一）。

2、等腰三角形的其他性質

（1）等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

（ 2 ）等腰三角形的底角隻能為銳角，不能為鈍角（或直角），但 頂角可為鈍角（或直角）。

（3）等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則

等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C， ∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

。

3、等腰三角形的判定

（ 1 ）如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相 等（簡稱：等角對等邊）。

（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

三、等邊三角形

1、性質：

（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。

（2）三線合一。

2、判定：

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

四、直角三角形

1、直角三角形的性質

（1）直角三角形的兩個銳角互餘

（2）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于 斜邊c的平方，即 a ² b ² =c ² 。

2、其它性質

（1）直角三角形斜邊上的高線将直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。

（2）常用關系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積。

3、直角三角形的判定

（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形。

（2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關系a² b²=c²，那麼這個三角形是直角三角形。

4、直角三角形全等的判定

對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。

五、角的平分線及其性質與判定

1、角的平分線：

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

2、角的平分線的性質定理：

角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。

3、角的平分線的判定定理：

在一個角的内部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

六、線段垂直平分線的性質與判定

1、線段的垂直平分線：

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

3、線段垂直平分線的性質定理：

線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

4、線段垂直平分線的判定定理：

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

七、反證法

八、互逆命題、互逆定理

1、在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分别是另一個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

2、如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

第二章 一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程定義

含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一 元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

它的特征是：等式左邊是一個關于未知數x的 二次多項式，等式右邊是零，其中 ax ² 叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫 做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

直接開平方法适用于解形如(x a)²=b的一元二次方程。當

時，

當b<0時，方程沒有實數根。

2、配方法

一般步驟：

（1）方程

兩邊同時除以a,将二次項系 數化為1.

（2）将所得方程的常數項移到方程的右邊。

（3） 所得方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方。

（4）

。

（5）

當b<0時，方程沒有實數根。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

。

4、因式分解法

一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。

三、補充：一元二次方程根的判别式

1、定義：一元二次方程

b²-4ac叫做一元二次方程

的根的判别式。

2、性質：當 b ² -4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當 b ² -4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；當 b ² -4ac＜0時，方程沒有實數根。

四、補充：一元二次方程根與系數的關系

如果方程

的兩個實數根是

那麼

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