易錯知識點

1線、角

1 .直線沒有端點，沒有長度，可以無限延伸。

2. 射線隻有一個端點，沒有長度，射線可以無限延伸，并且射線有方向。

3. 在一條直線上的一個點可以引出兩條射線。

4. 線段有兩個端點，可以測量長度。圓的半徑、直徑都是線段。

5 .角的兩邊是射線，角的大小與射線的長度沒有關系，而是跟角的兩邊叉開的

大小有關，叉得越大角就越大。

6 .幾個易錯的角邊關系：

（1）平角的兩邊是射線，平角不是直線。

（2）三角形、四邊形中的角的兩邊是線段。

（3）圓心角的兩邊是線段。

7 .兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

8. 從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度叫做點到直線的距離。

9. 在同一個平面上不相交的兩條直線叫做平行線。

2 三角形

1. 任何三角形内角和都是180度。

2 .三角形具有穩定的特性，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。

3. 任何三角形都有三條高。

4. 直角三角形兩個銳角的和是90度。

5. 兩個三角形等底等高，則它們面積相等。

6 .面積相等的兩個三角形，形狀不一定相同。

3正方形面積

1 .正方形面積：邊長×邊長

2 .正方形面積：兩條對角線長度的積÷2

4三角形、四邊形的關系

1. 兩個完全一樣的三角形能組成一個平行四邊形。

2. 兩個完全一樣的直角三角形能組成一個長方形。

3. 兩個完全一樣的等腰直角三角形能組成一個正方形。

4. 兩個完全一樣的梯形能組成一個平行四邊形。

5 圓

把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。則長方形的面積等于圓的面積，長方形的周長比圓的周長增加r×2。

半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。

半圓的周長公式：Ｃ＝pd¸２＋d或Ｃ＝pr＋２r

在同一個圓裡，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍數的平方倍。

6圓柱、圓錐

把圓柱的側面展開，得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面的周長，寬等于圓柱的高。

如果把圓柱的側面展開，得到一個正方形，那麼圓柱的底面周長和高相等。

把一個圓柱沿着半徑切開，拼成一個近似的長方體，體積不變，表面積增加了兩個面，增加的面積是r×h×2。

把一個圓柱沿着底面直徑劈開，得到兩個半圓柱體，表面積和比原來增加了兩個長方形的面，增加的面積和是d×h×2。

把一個圓柱加工成一個最大的圓錐，那麼圓柱與圓錐等底等高，削去的圓柱的體積占圓柱體積的， 削去的圓柱的體積占圓錐體積的2倍。

把一個圓柱截成幾段，增加的表面積是底面圓，增加的面的個數是：截的次數×2。

我們曾經學過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規則圖形。我們的面積及周長都有相應的公式直接計算。如下表：

實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應用公式直接計算。一般我們稱這樣的圖形為不規則圖形。

那麼，不規則圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法将它們轉化為基本圖形的和、差關系，問題就能解決了。

例題分析

例1、如下圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分别是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。

一句話：陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面積之和。

例2、如下圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積。

一句話：因為△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，都等于正方形ABCD面積的三分之一，也就是12平方厘米。

解：S△ABE=S△ADF=S四邊形AECF=12（平方厘米）

在△ABE中，因為AB=6厘米，所以BE=4厘米，同理DF=4厘米，因此CE=CF=2厘米，

∴△ECF的面積為2×2÷2=2（平方厘米）。

所以S△AEF=S四邊形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3、兩塊等腰直角三角形的三角闆，直角邊分别是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。

一句話：陰影部分面積=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形

總結：對于不規則圖形面積的計算問題一般将它轉化為若幹基本規則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關系，問題便得到解決

求面積十大方法

相加法

這種方法是将不規則圖形分解轉化成幾個基本規則圖形，分别計算它們的面積，然後相加求出整個圖形的面積.

例如：求下圖整個圖形的面積

一句話：半圓的面積 正方形的面積=總面積

相減法

這種方法是将所求的不規則圖形的面積看成是若幹個基本規則圖形的面積之差。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：先求出正方形面積再減去裡面圓的面積即可。

直接求法

這種方法是根據已知條件，從整體出發直接求出不規則圖形面積。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：通過分析發現陰影部分就是一個底是2、高是4的三角形。

重新組合法

這種方法是将不規則圖形拆開，根據具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設法求出這個新圖形面積即可。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：拆開圖形，使陰影部分分布在正方形的4個角處，如下圖。

輔助線法

這種方法是根據具體情況在圖形中添一條或若幹條輔助線，使不規則圖形轉化成若幹個基本規則圖形，然後再采用相加、相減法解決即可。

例如：下圖，求兩個正方形中陰影部分的面積。

一句話：此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線後用直接法作更簡便（如下圖）

根據梯形兩側三角形面積相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面積替換丙的面積，組成一個大三角ABE，這樣整個陰影部分面積恰是大正方形面積的一半。

割補法

這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規則圖形，從而使問題得到解決。

例如：下圖，若求陰影部分的面積。

一句話：把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半。

平移法

這種方法是将圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成一個新的基本規則圖形，便于求出面積。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：可先沿中間切開把左邊正方形内的陰影部分平行移到右邊正方形内，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。

旋轉法

這種方法是将圖形中某一部分切割下來之後，使之沿某一點或某一軸旋轉一定角度貼補在另一圖形的一側，從而組合成一個新的基本規則的圖形，便于求出面積。

例如：下圖（1），求陰影部分的面積。

一句話：左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180°，使A與C重合，從而構成右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積。

對稱添補法

這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：沿AB在原圖下方作關于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。

重疊法

這種方法是将所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分。

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