圓的切線：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 .

一、圓的切線的判定及相關計算

1.如圖，以 △ABC 的邊 AB 為直徑作 ⊙O，與 BC 交于點 D，點 E 是弧 BD 的中點，

連接 AE 交 BC 于點 F，∠ACB＝2∠BAE .

求證：AC 是 ⊙O 的切線．

例題1圖

【分析】連接 AD，利用等弧所對圓周角相等及 ∠ACB＝2∠BAE 可得到 ∠BAD＝∠BCA，

再結合直徑所對圓周角為直角即可得證．

證明：如解圖，連接 AD.

例題1解圖

∵ 點 E 是弧 BD 的中點，

∴ 弧 BE ＝ 弧 DE，

∴ ∠1＝∠2 .

∵ ∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，

∴ ∠ACB＝∠BAD.

∵ AB為 ⊙O 直徑，

∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.

∴ ∠DAC＋∠C＝90°.

∵ ∠C＝∠BAD，

∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°.

∴ ∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.

又 ∵ AB 是 ⊙O 的直徑，

∴ AC 是 ⊙O 的切線．

證明切線的常用方法：

1．直線與圓有交點，“ 連半徑，證垂直 ”．

(1) 圖中有 90° 角時，證垂直的方法如下：

① 利用等角代換：

通過互餘的兩個角之間的等量代換得證；

② 利用平行線性質證明垂直：

如果有與要證的切線垂直的直線，則證明半徑與這條直線平行即可；

③ 利用三角形全等或相似：

通過證明切線和其他兩邊圍成的三角形與含 90° 的三角形全等或相似得證．

(2) 圖中無 90° 角時：

利用等腰三角形的性質，通過證明半徑為所在等腰三角形底邊的中線或角平分線，

再根據 “ 三線合一 ” 的性質得證．

2．直線與圓無交點，“ 作垂線，證相等 ”．

2.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是 △ABC 的外接圓，點 D 在 ⊙O 上，且弧 AD＝弧 CD ,

過點 D 作 CB 的垂線，與 CB 的延長線相交于點 E，并與 AB 的延長線相交于點 F .

(1) 求證：DF 是 ⊙O 的切線；

(2) 若 ⊙O 的半徑 R＝5，AC＝8，求 DF 的長．

例題2圖

【解析】

(1) 證明：如解圖，連接 DO 并延長，與 AC 相交于點 P.

例題2解圖

∵ 弧 AD = 弧 CD，

∴ DP⊥AC.

∴ ∠DPC＝90°.

∵ DE⊥BC，

∴ ∠CED＝90°.

∵ ∠C＝90°.

∴ ∠ODF＝90°，而點 D 在 ⊙O 上，

∴ DF 是 ⊙O 的切線；

(2) 解：

例題2解圖

∵ ∠C＝90°， R＝5，

∴ AB＝2R＝10.

在 Rt△ABC 中，根據勾股定理可得，BC＝6 .

∵ ∠DPC＋∠C＝180°，

∴ PD∥CE.

∴ ∠CBA＝∠DOF.

∵ ∠C＝∠ODF，

∴ △ABC ∽ △FOD.

∴ CA / DF = BC / OD , 即 8 / DF = 6 / 5 ,

∴ DF = 20 / 3 .

類型二、切線性質的相關證明與計算

3.如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，AC 是 ⊙O 的弦，過點 B 作 ⊙O 的切線 DE，

與 AC 的延長線交于點 D，作 AE⊥AC 交 DE 于點 E .

(1) 求證：∠BAD＝∠E；

(2) 若 ⊙O 的半徑為 5，AC＝8，求 BE 的長．

例題3圖

【解析】

(1) 證明：

∵ ⊙O 與 DE 相切于點 B，AB 為 ⊙O 的直徑，

∴ ∠ABE＝90°.

∴ ∠BAE＋∠E＝90°.

又 ∵ ∠DAE＝90°，

∴ ∠BAD＋∠BAE＝90°.

∴ ∠BAD＝∠E；

(2) 解：如解圖，連接 BC.

例題3解圖

∵ AB 為 ⊙O 的直徑，

∴ ∠ACB＝90°，

∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 .

∴ 在 Rt△ACB 中，根據勾股定理可得 BC = 6 .

又 ∵ ∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，

∴ △ABC ∽ △EAB .

∴ AC / EB = BC / AB , 即 8 / EB = 6 / 10 ,

∴ BE＝40 / 3 .

4.如圖，⊙O 的半徑 OA＝6，過點 A 作 ⊙O 的切線 AP，且 AP＝8，連接 PO 并延長，

與 ⊙O交于點 B、D，過點 B 作 BC∥OA，并與 ⊙O 交于點 C，連接 AC、CD.

(1) 求證：DC∥AP；

(2) 求 AC 的長．

例題4圖

【解析】

(1) 證明：

∵ AP 是 ⊙O 的切線，

∴ ∠OAP＝90°.

∵ BD 是 ⊙O 的直徑，

∴ ∠BCD＝90°.

∵ OA∥CB，

∴ ∠AOP＝∠DBC，

∴ ∠BDC＝∠APO.

∴ DC∥AP；

(2) 解：

∵ AO∥BC，OD＝OB，

例題4解圖

∴ 如解圖，延長 AO 交 DC 于點 E，則 AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝ 1/2 CD.

在 Rt△AOP 中，根據勾股定理可得：OP＝10.

由 (1) 知，△AOP∽△CBD，

∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即 12/10 = BC/6 = DC/8 ,

∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 .

∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA DE = 6 18/5 = 48/5 ,

在 Rt△AEC 中，根據勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .

5.如圖，AC 是 ⊙O 的直徑，AB 是 ⊙O 的一條弦，AP 是 ⊙O 的切線．

作 BM＝AB，并與 AP 交于點 M，延長 MB 交 AC 于點 E，交 ⊙O 于點 D，連接 AD.

(1) 求證：AB＝BE；

(2) 若 ⊙O 的半徑 R＝5，AB＝6，求 AD 的長．

例題5圖

【解析】

(1) 證明：

∵ AP 是 ⊙O 的切線，

∴ ∠EAM＝90°，

∴ ∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.

又 ∵ AB＝BM，

∴ ∠MAB＝∠AMB，

∴ ∠BAE＝∠AEB，

∴ AB＝BE；

(2) 解：如解圖，連接 BC.

例題5解圖

∵ AC 是 ⊙O 的直徑，

∴ ∠ABC＝∠EAM＝90°，

在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根據勾股定理可得：BC = 8 .

由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，

∴ △ABC∽△EAM，

∴ ∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即 10/2 = 8/AM ,

∴ AM = 48/5 .

又 ∵ ∠D＝∠C，

∴ ∠D＝∠AMD.

∴ AD＝AM＝ 48/5 .

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