這是我所見過的最美麗的數學“東西”之一，是由18世紀的數學家歐拉發現的，對于歐拉及其作品，我們做過很多介紹：

歐拉常數——最神秘的數字，調和級數的産物，至今看不清它的面貌

很多人真正愛上數學，是從歐拉公式開始的，它到底有怎樣的魔力？

世界上最短的數學論文系列，關于費馬大定理和歐拉猜想

調和級數——自然真理是如何隐藏在數字中的，永遠不要相信直覺

又是歐拉，用代數法求解四次方程的通解，偉大頭腦的一個精妙設計

這位數學家所做的很多數學工作本身就令人震驚。為了理解我所說的和文章開頭的圖片，我們先問自己一個簡單的問題：在不考慮順序的情況下，有多少種方式可以将一個數字寫成其他數字的總和？

這是一個相當難的問題，讓我們先從一些簡單的例子入手，比方說4，現在所有這些所謂的 "方式 "是：

這就是所謂的4的分割（請允許我這麼稱呼），這些是把4分成其他正整數的方法。假設p(4)代表4的分割量，那麼p(4)=5。不管你信不信，p(100)=190,569,292，這意味着有190,569,292種方法可以把100寫成正整數之和。

一個數字的分割量是一個非常深刻的數學問題，歐拉發現的最深刻的真理之一，可以用來精确地根據其他數字的分割量來計算一個數字的分割量。首先讓我們列出一些數字的分割量的數值：

• p(0)=1
• p(1)=1
• p(2)=2=p(1) p(0)
• p(3)=3=p(2) p(1)
• P(4)=5=P(3) P(2)
• p(5)=7=p(4) p(3)-p(0)
• p(6)=11=p(5) p(4)-p(1)
• p(7)=15=p(6) p(5)-p(2)-p(1)
• p(8)=22=p(7) p(6)-p(3)-p(1)
• p(9)=30=p(8) p(7)-p(4)-p(2)

p（數字）=p（數字-1） p（數字-2）-p（數字-5）-p（數字-7）-…

這相當有趣。現在，這些數字（1、2、5、7、12、15、22…）是什麼？看看每一個奇數位置的數字（比如第1個、第3個、第5個等等），把它們列出來：1、5、12、22…，盡管它們可能隻是看起來很随機，但它們确實有一個非常簡單的規律，這個規律是：

這正是它的本質，至于偶數，其中第n個數字的确切值是：

這些數字是所謂的 "五邊形數"，

• 五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。

歐拉證明了，對于n是你選擇的任何數字，對于p（0）=1和對于所有負數，它們的分割量是0，我們有：

這揭示了所有數字分割量的真理。

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