球體半徑R，把球平行地切成許多圓形薄片，每個圓形薄片的半徑r=√(R²-x²)（x是該薄片到球心的距離，更準确地說是橫向坐标，範圍是-R到R）。

因此薄片的面積是π(R²-x²)，

球體體積=薄片體積的和=薄片面積的和×薄片厚度d

相當于對π(R²-x²)這個式子，讓x從-R到 R以間距d走一遍求和，再乘以d

相當于求積分：

如果看不懂積分，就寫成求和式計算，再讓d趨于無窮小。

從幾何思考，半徑增長一點，體積增長多少？

把球看成洋蔥那樣一層一層的球殼包起來的，設球殼厚度是t。

當一個球的半徑從R增加到R t時，其體積從4/3πR³增加到了4/3π(R t)³

同時相當于，這個球增加了一個厚度為t的殼。

因此dV就是增加的殼的體積，而dV/t則是殼的表面積：

從以上圖形可以很直觀地看出，圓的半徑微分為dr，展開後可以近似為一個以R為底，2πr為高的三角形，可得面積為πr²。

如果從定積分的角度去分析，變量r，對應直線函數2πr，則直線下的面積∫2πrdr＝πr²。

我們的生活中，存在輻射現象。太陽源源不斷的把太陽能輻射到地球，冬天取暖用的火爐向外輻射能量。其實數學中也存在這樣的“輻射現象”，不過我們先要了解輻射的特點。輻射無非就是說，輻射源不間斷的向四面八方的空間均勻的發射能量；看來它的特點是：輻射源、發射方向四面八方、變化是均勻的。在幾何中符合輻射條件的幾何空間群有是：圓、圓柱、球。

圓是以圓心為輻射源，圓柱是以中心軸L為輻射源，球是以球心為輻射源。這樣的輻射幾何空間是有定積分的，把他們的輻射單元求和（積分）就可以得到相應的圓的面積、圓柱和球的體積了，我把它們這樣形式的定積分稱為輻射積分。

球的體積的導數 = 球的表面；

圓的面積的導數 = 圓的周長；

圓的周長的導數 = 整個圓的圓周角；

因為圓是最特别的圖形。

圓的周長：

= ∑小扇形的弧長

= ∑圓的半徑×小扇形的弧度

= ∑圓的半徑×Δθ

= r∑Δθ

= 2πr

=∫rdθ

= 2πr

圓的面積：

= ∑小圓環的周長×小圓環的寬度

= ∑2πr×Δr

=∫2πrdr

= πr²

球的體積 = ∑小球殼的面積×小球殼的厚度。

= ∑4πr²×Δr

=∫4πr²dr

= 4πr³/3

這些都是積分基本思想、基本方法。

就是：“分割、求和、取極限(過渡到積分)”。

導數是指空間變化率：

如果球體的半徑在變，對半徑的求導的意義是：

“半徑每變化一個單位所引起的球體體積大小的變化”

它在大小的量值上正好等于球表面的面積。

圓的面積、周長的解釋完全類似。

但對于橢圓(球)、三角形、正方形、立方體...都不成立!

正方體的體積與面積的關系

正方體要處理成體積的導數就是表面積，必須要換求導變量。

原因是方體的原邊x的微小增量是不和體積的增量成表面積變化關系。

先看一下正方體的組成，它是由6個錐體拼湊而成，6個錐體的頂點對稱在正方體的空間中心，它們的底面是6個正方形表面。

正方體體積v=x³，也就等于6個錐體的體積和(那麼每個錐體體積為vz=1/6*x^3)，

單獨一個錐體的高度h=1/2*x，x為正方體的邊長。

正方體表面積s=6x²,

由h=1/2*x, x=2h,

v=(2h)³=8h³

s=6(2h)²=24h²

dv=s=24h²

h其實就是沿正方體底面到正方體空間中心的距離，（6個錐體的高）。

從視覺上判斷，h的微小變化，可以導緻正方體表體如洋蔥一樣剝離表面。

假設将球鍍上一層非常薄的金屬膜（原球半徑是r，膜厚度為dr），那麼膜的體積就是V(r dr)-V(r)=V'*dr

又由于膜非常薄，故體積=面積*dr=S*dr

所以，dV=V'*dr=S*dr

S=V'

球體積是球半徑R的函數，對R求導數才能得球面表面積。

如果用直徑D來表示的話，則球體積v(D)=π*D³/6，對D的導數v'(D)=π*D²/2，而球的表面積為π*D²，顯然v'(D)并不是球的表面積。

而對正方體也是如此，若取正方體邊長的一半做為變量，則V=（2a）³=8a³，求導得v'=24a²=表面積。

－End－

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