高中數學抽象函數方法?所謂抽象函數是指沒有給出具體解析式，隻給出函數的特殊條件或特征的函數常常還附有定義域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)這類題目在高考選擇填空中不斷出現，我來為大家講解一下關于高中數學抽象函數方法?跟着小編一起來看一看吧!

高中數學抽象函數方法

所謂抽象函數是指沒有給出具體解析式，隻給出函數的特殊條件或特征的函數。常常還附有定義域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。這類題目在高考選擇填空中不斷出現。

一、抽象函數一般來源于基本初等函數，其基本形式包括：

高中數學

1、f(x y) = f(x) f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y)

對應正比例函數：y = f(x) =kx (k≠0)

2、f(x y)=f(x)f(y) 或 f(x-y)=f(x)/f(y)

對應指數函數：f(x) = ax(a>0且a≠1)

利用指數函數的運算性質：ax y = ax ay

3、f(x) f(y)=f(xy) 或 f(x/y) = f(x) - f(y)

對應對數函數：f(x) = logax(a>0且a≠1)

利用對數函數的運算性質： logaxy = logax logay

4、f(xy)=f(x)f(y) f(x/y)=f(x)/f(y)

對應幂函數： f(x) = xn

利用幂函數的運算性質：xnyn =xn yn

5、f(x)=f(x T)

對應周期為T的周期函數：比如f(x) = sinx 或 f(x) = cosx

6、f(x y) f(x-y)=2f(x)f(y)

對應三角函數：f(x) = cosx

對應三角函數公式：cos(x y) cos(x-y) = 2cosxcosy

由以上可以看出抽象函數模型通常來源于我們所熟悉的基本初等函數，因此，我們看到這種類型的題目，沒必要擔心恐懼。正确的做法是，先認真觀察題目中所給出的抽象函數結構特點，看其對應哪種基本初等函數，然後再根據題目給出的特殊條件，賦特殊值問題就迎刃而解。

掌握了這些形式的抽象函數，在将其具體化為基本初等函數後，可以快速的解答我們遇到的選擇題和填空題。

二、各種抽象函數舉例及解題方法對比

2.1、正比例函數

例1、已知函數f(x)對任意實數x、y，均有f(x y) = f(x) f(y)，且當x>0時，f(x)>0,f(-1)=-2，求f(x)在區間[-2,1]上的值域是（ ）

解：解法一：

由條件知函數f(x)對應正比例函數，可設f(x)=2x

則f(x)的值域為[-4,2]

解法二：

設x1<x2，則x2-x1>0，

∵當x>0時，f(x)>0

∴f(x2-x1)>0

∵f（x2）=f(x2-x1 x1)=f(x2-x1） f(x1)

∴f(x2）-f(x1)=f(x2-x1)>0

∴f(x)為增函數

在條件中，令y=-x,則f(0)=f(x) f(-x)

令x=y=0，則f(0)=2f(0)

∴f(0)=0故f(x)=-f(-x)

∴f(x)為奇函數

∴f(1)=-f(-1)=2

f(-2)=2f(-1)=-4

∴f(x)的值域為[-4,2]

由解法一和二對比，我們發現，如果把抽象函數具體化，在解選擇題和填空題時具有巨大的優勢。

2.2、指數函數

2.3、對數函數

例3、已知f(x)的定義域為（0， ∞），且滿足f(2) = 1，f(x) f(y)=f(xy)，又當x2 > x1時，f(x2)>f(x1)。

（1）求f(1)、f(4)、f(8)的值；

（2）若有f(x) f(x-2)≤3成立，求x的取值範圍。

解：由條件f(2) = 1，f(x) f(y)=f(xy)，當x2 > x1時，f(x2)>f(x1)

可設：f(x) = log2x 所以

（1）f(1)=log21=0； f(4)=log24=2；f(8)=log28=3

（2）由f(x) f(x-2)≤3

可得：log2x log2(x-2)≤3=log28

∴log2[x(x-2)]≤log28

∴x(x-2)≤8 且x>2

解得： x∈(2,4]

2.4、幂函數

2.5、周期函數

例5、已知f(x)是定義在R上的偶函數,對任意的x∈R都有f(x 6)=f(x) f(3)成立.若f(1)=2,則f(2007)等于多少?

令x=-3 則f(-3 6)=f(-3) f(3)

已知f(x)是定義在R上的偶函數

∴f(3)=2f(3) ∴f(3)=0

f(x 6)=f(x) f(3)=f(x)

∴T=6

∴f(2007)=f(3)=0

2.6、三角函數

例6、已知f(x y) f(x-y)=2f(x)f(y) ，對一切x、y都成立，且f(0)≠0。判斷f(x)為（ ）（填奇函數或偶函數）

解法一：由f(x y) f(x-y)=2f(x)f(y)

可對應三角函數：f(x) = cosx

知f(x)為偶函數。

解法二：令x=0,則已知等式變為f(y) f(-y)=2f(0)f(y)

再令y=0，則2f(0)=2f(0)f(0)

∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

∴ f(y) f(-y)=2f(y)

∴f(-y)=f(y)

知f(x)為偶函數

解法一和二對比，我們可以發現，如果把抽象函數具體化，在解選擇題和填空題時具有巨大的優勢。

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