要判斷條件p是結論q的充分必要條件,或必要不充分條件,或充分不必要條件,或既不充分也不必要條件,除要對命題“若p則q”和“若q則p”的真假進行正确判斷之外,還要掌握一些常用的方法與技巧。對初學者來說有些條件的判斷是有一定難度的,下面談談四種條件的判斷方法。
一、定義法
由“四種條件”的定義可知:判斷條件p是結論q的什麼條件,實際上就是判斷或
例1、“”是“”的
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
分析:“若p則q”是原命題,可知:①原命題真而逆命題不真,則p是q的充分不必要條件;②原命題不真而逆命題真,則p是q的必要不充分條件;③原命題、逆命題都真,則p是q的充要條件;④原命題、逆命題都不真,則p是q的既不充分也不必要條件。
解析:命題中條件p是“”,結論q是“”。若,則
若,則
二、集合法
如果從命題的條件和結論之間的關系來判斷有困難時,有時可以從集合的角度來考慮,尤其是所研究的條件p與q表示兩數集時,這種方法就更顯優越性。記條件p、q對應的集合為A、B,即:
①若,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;②若
上述命題的逆命題也是正确的。
例2、是否存在實數m,使“”是“”的充分條件?如果存在,求出m的取值範圍。是否存在實數m,使“”是“”的必要條件?如果存在,求出m的取值範圍。
分析:充要條件反映了命題間相互推導的邏輯關系,同時也是集合之間關系的一種反映。如,則A中的元素是屬于B的充分條件,B中的元素是屬于A的必要條件。本題将“若p則q”的判斷轉換成兩集合之間的一種包含關系,從而使問題便于判斷。
解析:設p:,q:
條件p對應的集合
若
若p是q的必要條件,則必有成立,即要
故不存在實數m,使“”是“”的必要條件。
三、等價法
利用與
例3、已知p:
分析:本題充分利用互為逆否的兩個命題的等價性進行轉換,從而得到q是p的必要不充分條件,又根據“四種條件”的定義将其轉化為p是q的充分不必要條件,再利用集合關系順利求解。
解析:由p是q的必要不充分條件,即
可知q是p的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件。
由,得
∴q:
又由,得
∴p:
又p是q的充分不必要條件,知
∴
故所求實數m的取值範圍是
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