微積分是A-level數學中的重要部分，微分涉及到的技巧相對比較簡單，主要包括基本求導公式、和差積商的求導法則及chain rule等微分技巧；而積分除了基本的積分公式外，涉及到的積分技巧比較多，包括reverse chain rule, by substitution, trigonometric identities, partial fraction, integration by parts等，另外三角函數積分又是積分問題中的重要部分，不但涉及到三角恒等關系式(Trigonometric identities)，還會涉及到前面提到的積分技巧，這樣讓一些孩子感到十分棘手。下面我們就來總結一下三角函數相關的積分技巧。

首先，我們說“一次”的三角函數，包括sin x, cos x, tan x, cot x, sec x,cosec x. 大家首先要知道這六個三角函數可以直接求積分的，即如下積分公式：

而且大家要知道tan x 和cot x 求積分時涉及到如下積分技巧：

例如：

同樣cot x的積分大家可以用同樣的方法自己推導一下。

下面我們說“二次”的三角函數，主要包括sin2 x, cos2 x, sinxcosx, tan2x,cot2x, sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx。

前三個積分主要涉及到二倍角公式和reverse chain rule，如：

同樣的方法可以得到：

而sinxcosx的積分用到sin2x的展開式，即：

接下來我們知道 sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx 的積分是可以直接用積分公式的，即：

而 tan2 x 與 sec2 x,cot2x 與 cosec2 x 有重要的恒等關系式： tan2x=sec2x-1 ； cot2x=cosec2 x-1 ，所以 tan2 x 與 cot2 x 的積分可以直接轉化為 sec2 x 與 cosec2 x 進而求解。

下面要說的三角函數積分也是“二次”的，但上面的技巧并不能解決這類問題，而要用到積化和差的技巧。例如求sin3xcos2x的積分，我們知道sin(3x 2x)=sin3xcos2x cos3xsin2x,sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x，兩式相加右邊即可得到2sin3xcos2x, 而左邊等于sin5x sinx, 這樣sin3xcos2x的積分就轉化為求1/2(sin5x sinx)的積分，即“積化和差”，本質上是利用正弦或餘弦的和差角展開公式。同樣的方法大家可以試求下sin5xsin2x, cos3xcosx的積分。

最後要說的三角函數積分問題主要涉及到下面的兩類積分技巧：

第一種類型我們剛才在求tan x和co tx積分時已經講過，第二種類型如：

求cosxsin3x的積分，我們知道sin x求導是cos x, 所以原積分等于1/4sin4x，如果不太理解可以反過來求導試試。下面的例題可供大家進一步練習：

總結了這麼多，是否覺得思路上清晰了很多呢？相信大家以後再遇到三角函數積分問題就可以胸有成竹的面對了，不必害怕，重在總結和練習。

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