德國數學家、天文學家和物理學家卡爾·弗裡德裡希·高斯,被許多人認為是"自古以來最偉大的數學家",但他卻給出了如此贊譽獻給歐拉本人。
本文将介紹瑞士數學家萊昂哈德·歐拉是如何解決著名的巴塞爾問題的。歐拉是曆史上最偉大的數學家之一。他的多産被譽為傳奇,且他的數學成果足以彙聚成 92 卷文集。
“讀讀歐拉吧, 他是我們所有人的老師。”——皮埃爾-西蒙·拉普拉斯
巴塞爾問題(Basel Problem)巴塞爾問題于 1650 年由意大利數學家彼得羅·門戈利首次提出,1734 年由歐拉解決,這使他立即得到認可。這個問題是求自然數的平方的倒數之和:
等式 1:巴塞爾問題
許多有影響力的數學家試圖找到一個公式,以求自然數平方的倒數之和。如微積分的兩位共同發明者約翰·沃利斯和偉大的戈特弗裡德·萊布尼茲就是嘗試了這個問題但以失敗告終的衆多人中的兩位。但年僅 28 歲歐拉在就解決了這個難題,并且他給出的答案的數學性質令數學界感到驚訝。盡管他給出第一個證明(他後來又提供了其他幾個證明)并不是嚴謹的,但它的美、簡單和原創性是都是令人難以置信的。
圖 3: 巴塞爾是瑞士的第三大城市, 也是歐拉的故鄉(圖自維基)
歐拉的獨到見解是将 sinc(πx)函數寫成了根式解的形式。
等式 2:sinc(πx)函數的定義
圖 4: 在 x = −6π 到 6π 區間顯示在同樣尺度上的歸一化 sinc(x)(藍色)與非歸一化 sinc 函數(紅色)
為便于理解,來看個例子,下面的四次多項式寫為根式解的形式:
将表達式相乘後展開,我們能夠得到下面結果:
等式 4:乘開各因子之後的表達式
歐拉的策略是将同樣的展開式應用到超越函數上。
超越函數(Transcendental Functions)超越函數就是“超出”代數函數範圍的函數,是指那些不滿足任何以多項式方程的函數,也就是不能寫成與“等式 4”類似的多項式相乘的形式。指數函數、三角函數和對數函數是三個衆所周知的超越函數例子。
圖 5:指數函數、對數函數和三角函數的圖象(圖自維基)
sinc(πx)函數具有以下根:
等式 5:sinc(πx)函數的根
歐拉利用下面最基本的數學恒等式,将 sinc(x)函數寫成了與等式 3 中 f(x)相同的格式
由于對于等式 5 中的每個根都有相應的負根,因此等式可以寫成下列形式:
等式 6:sinc(πx)函數的零點式
下一步是将等式 6 中的因子相乘展開,但讓我們隻關注其二次項就可以了:
等式 7:等式 6 展開後其二次項系數
泰勒級數泰勒級數是将函數表示為無限項連加式,這些相加的項由函數在某一點的導數求得。通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。
圖 6:随着增加泰勒級數的項,它就越接近到準确的函數。黑色細線表示函數 sin(x),藍色粗線是泰勒多項式
圖 6 所示的七個泰勒級數代數形式如下:
等式 8:相應的次數的泰勒多項式。這些函數圖象如圖 6 所示
sinc(x) 函數的泰勒展開式是:
等式 9:sinc(πx)的泰勒展開式
人們可以認為 「等式 8」 是具有無限項的"僞多項式",就像「等式 5」中所示它有無窮個根。
比較兩個結果對比「等式 7」 和「等式 9」,我們得了目标結論:
等式 10:歐拉給出的巴塞爾問題的答案
作為額外收獲,歐拉的推導過程為我們提供了著名的沃利斯公式。隻需在 x = 1/2 代入「等式 6」中即可得到。
作者:[遇見數學核心成員] 李星, 石婧儀, 點點
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