第一章 勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即 a ² b²=c^2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有這種關系，那麼這個三角形是直角三角形。

3、勾股數

滿足的三個正整數，稱為勾股數。

常見的勾股數組有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）

第二章 實數

1、實數的概念及分類

①實數的分類

②無理數

無限不循環小數叫做無理數。

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類：

• 開方開不盡的數，如 √7 ,³ √2等；
• 有特定意義的數，如圓周率π，或化簡後含有π的數，如π /₃ 8等；
• 有特定結構的數，如0.1010010001…等;
• 某些三角函數值，如sin60°等

2、實數的倒數、相反數和絕對值

①相反數

實數與它的相反數是一對數（隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a b=0，a=-b，反之亦成立。

②絕對值

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。|a|≥0。0的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

③倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。0沒有倒數。

④數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

⑤估算

3、平方根、算數平方根和立方根

①算術平方根

一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x² =a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特别地，0的算術平方根是0。

性質：正數和零的算術平方根都隻有一個，0的算術平方根是0。

②平方根

• 一般地，如果一個數x的平方等于a，即x²=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。
• 性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
• 開平方求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。注意 √a的雙重非負性：√a≥0 ; a≥0

③立方根

• 一般地，如果一個數x的立方等于a，即x³=a，那麼這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
• 表示方法：記作 ³ √a
• 性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。
• 注意：- ³ √a=³ √-a，這說明三次根号内的負号可以移到根号外面。

4、實數大小的比較

①實數比較大小

正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；

數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；

兩個負數，絕對值大的反而小。

②實數大小比較的幾種常用方法

• 數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
• 求差比較：設a、b是實數
• a-b＞0↔a＞b；
• a-b=0↔a=b；
• a-b＜0↔a＜b 。
• 求商比較法：設a、b是兩正實數，
• 絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則∣a∣＞∣b∣↔a＜b。
• 平方法：設a、b是兩負實數，則 a² ＞b²↔a＜b 。

5、算術平方根有關計算（二次根式）

①含有二次根号“ √ ”；被開方數a必須是非負數。

②性質：

③運算結果若含有“ √ ”形式，必須滿足：

• 被開方數的因數是整數，因式是整式
• 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

6、實數的運算

①六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方。

②實數的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最後算加減，如果有括号，就先算括号裡面的。

③運算律

加法交換律 a b= b a

加法結合律 （a b） c= a ( b c )

乘法交換律 ab= ba

乘法結合律 （ab）c = a( bc )

乘法對加法的分配律 a( b c )=ab ac

第三章 位置與坐标

1、确定位置

在平面内，确定物體的位置一般需要兩個數據。

2、平面直角坐标系及有關概念

①平面直角坐标系

在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐标系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐标軸。它們的公共原點O稱為直角坐标系的原點；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

②坐标軸和象限

為了便于描述坐标平面内點的位置，把坐标平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點（坐标軸上的點），不屬于任何一個象限。

③點的坐标的概念

• 對于平面内任意一點P,過點P分别x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分别叫做點P的橫坐标、縱坐标，有序數對（a，b）叫做點P的坐标。
• 點的坐标用（a，b）表示，其順序是橫坐标在前，縱坐标在後，中間有“，”分開，橫、縱坐标的位置不能颠倒。平面内點的坐标是有序實數對，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐标。
• 平面内點的與有序實數對是一一對應的。

④不同位置的點的坐标的特征

a、各象限内點的坐标的特征

• 點P(x,y)在第一象限→ x＞0,y＞0
• 點P(x,y)在第二象限 → x＜0,y＞0
• 點P(x,y)在第三象限 → x＜0,y＜0
• 點P(x,y)在第四象限 → x＞0,y＜0

b、坐标軸上的點的特征

• 點P(x,y)在x軸上 → y=0，x為任意實數
• 點P(x,y)在y軸上 → x=0，y為任意實數
• 點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上→ x，y同時為零，即點P坐标為（0，0）即原點

c、兩條坐标軸夾角平分線上點的坐标的特征

• 點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上 → x與y相等
• 點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 → x與y互為相反數

d、和坐标軸平行的直線上點的坐标的特征

• 位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐标相同。
• 位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐标相同。

e、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐标的特征

• 點P與點p’關于x軸對稱 橫坐标相等，縱坐标互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）
• 點P與點p’關于y軸對稱 縱坐标相等，橫坐标互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）
• 點P與點p’關于原點對稱，橫、縱坐标均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）

f、點到坐标軸及原點的距離

點P(x,y)到坐标軸及原點的距離：

• 點P(x,y)到x軸的距離等于 ∣y∣
• 點P(x,y)到y軸的距離等于 ∣x∣
• 點P(x,y)到原點的距離等于 √x² y²

3、坐标變化與圖形變化的規律

第四章 一次函數

1、函數

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就确定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

2、自變量取值範圍

使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值範圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。

3、函數的三種表示法及其優缺點

• 關系式（解析）法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符号的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

• 列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

• 圖象法

用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。

4、由函數關系式畫其圖像的一般步驟

• 列表：列表給出自變量與函數的一些對應值。
• 描點：以表中每對對應值為坐标，在坐标平面内描出相應的點。
• 連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

5、正比例函數和一次函數

①正比例函數和一次函數的概念

• 一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成y=kx b （k，b為常數，k不等于 0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。
• 特别地，當一次函數y=kx b中的b=0時（k為常數，k 不等于0），稱y是x的正比例函數。

②一次函數的圖像:

所有一次函數的圖像都是一條直線。

③一次函數、正比例函數圖像的主要特征

• 一次函數y=kx b的圖像是經過點（0，b）的直線；
• 正比例函數y=kx的圖像是經過原點（0，0）的直線。

④正比例函數的性質

一般地，正比例函數 有下列性質：

• 當k>0時，圖像經過第一、三象限，y随x的增大而增大；
• 當k<0時，圖像經過第二、四象限，y随x的增大而減小。

⑤一次函數的性質

一般地，一次函數 有下列性質：

• 當k>0時，y随x的增大而增大；
• 當k<0時，y随x的增大而減小。

⑥正比例函數和一次函數解析式的确定

• 确定一個正比例函數，就是要确定正比例函數定義式y=kx（k 不等于0）中的常數k。
• 确定一個一次函數，需要确定一次函數定義式y=kx b（k 不等于0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法.

⑦一次函數與一元一次方程的關系

• 任何一個一元一次方程都可轉化為：kx b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx b=0就與一元一次方程完全相同．
• 結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值．
• 從圖象上看，這相當于已知直線y=kx b确定它與x軸交點的橫坐标值．

第五章 二元一次方程組

1、二元一次方程

①二元一次方程

含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。

②二元一次方程的解

适合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

2、二元一次方程組

①含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

②二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

③二元一次方程組的解法

• 代入（消元）法
• 加減（消元）法

④一次函數與二元一次方程（組）的關系：

• 一次函數與二元一次方程的關系：

直線y=kx b上任意一點的坐标都是它所對應的二元一次方程kx- y b=0的解

• 一次函數與二元一次方程組的關系：

二元一次方程組

的解可看作兩個一次函數

和

的圖象的交點。

當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；

當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。

第六章 數據的分析

1、刻畫數據的集中趨勢（平均水平）的量：平均數 、衆數、中位數

2、平均數

• 平均數：一般地，對于n個數，我們把它們的和與n之商叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數。
• 加權平均數。

3、衆數

一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的衆數。

4、中位數

一般地，将一組數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

第七章 平行線的證明

1、平行線的性質

一般地,如果兩條線互相平行的直線被第三條直線所截,那麼同位角相等,内錯角相等,同旁内角互補.

也可以簡單的說成：

• 兩直線平行,同位角相等；
• 兩直線平行,内錯角相等；
• 兩直線平行,同旁内角互補。

2、判定平行線

兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行.

也可以簡單說成：

• 同位角相等兩直線平行
• 兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行；如果同旁内角互補,那麼這兩條直線平行.

其他兩條可以簡單說成：

• 内錯角相等兩直線平行
• 同旁内角相等兩直線平行

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