德國著名數學家高斯從小就顯現出了他在數學方面的天賦，高斯求和的故事是我們從小就聽過的一個故事，今天極客數學幫就來總結小學階段高斯求和的相關知識點，幫助同學們在小學階段塑造一定的數學思維，更好的學習數學。

德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老師出完題後，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什麼算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發現：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

（1 100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地适用于“等差數列”的求和問題。

若幹個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項。後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項之差稱為公差。例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。

其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；

（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；

（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。

由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式：

和=（首項 末項）×項數÷2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

分析與解：這串加數1，2，3，…，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

例211＋12＋13＋…＋31＝？

分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11 31）×21÷2=441。

在利用等差數列求和公式時，有時項數并不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到

項數=（末項-首項）÷公差 1，

末項=首項 公差×（項數-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝？

分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數列，

項數=（99－3）÷4＋1＝25，

原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。

解：末項=25＋3×（40-1）＝142，

和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。

練習：1、計算下面各題。

（1）3＋10＋17＋24＋…＋101

（2）17＋19＋21＋…＋39

2、求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。

3、求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和

4、已知等差數列2，5，8，11，14，…

（1）這個數列的第13項是多少？

（2）47是其中的第幾項？

5、已知等差數列的第1項是12，第6項是27，求公差。

6、如果一個數列的第4項為21，第6項為33，求它的第9項。

7、求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。

8、已知等差數列6，13，20，27…，問這個數列前30項的和是多少？

9、①7＋10＋13＋…＋37＋40

②2000－3－6－9－…－51－54

10、一個劇場設置了22排座位，第一排有36個座位，往後每排都比前一排多2個座位，這個劇場共有多少個座位？

答案：

1、（1）780 （2）336

2、1127

3、2565

4、（1）38 （2）16

5、51

6、1127

7、3225

8、（1）282

（2）1487

9、1254

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