很榮幸，網上有數學老師邀請我解答一個問題——

春遊時，全班38人要坐船遊玩，每隻大船可以坐10個人，租金為90元；每隻小船可以坐4人，租金為40元，那麼應該租幾隻大船幾隻小船才能使總花費最少？

網上某老師提問

【序】

既然是老師提問，就不能隻講這一道題怎麼做，而是深入講一講這一類題怎麼做，或是這一種數學模型有何特征，有何通用解決方案.

以下是我的嘗試，雖然有些标題黨嫌疑，但仍希望能讓大家對這類租船問題有一種全新的認識.

【思路】

1. 本題是多個約束條件下對大船數x與小船數y在自然數範圍内尋求最優方案[1]的應用題；
2. 本題在小學階段我們更多采用枚舉法[2]嘗試；
3. 枚舉前應先确定枚舉類型[3]和枚舉方向[4]；
4. 确定枚舉類型的依據是船的理論人均花費[5]，理論人均花費較少者為枚舉對象；
5. 為了讓總花費最少，要盡可能多用理論人均花費少的船隻，所以枚舉方向應是從多到少；
6. 如果理論人均花費少的那類船全都坐滿[6]，就已經達到總花費最優；
7. 如果最後一艘船沒有坐滿，且最後一艘船的實際人均花費[7]大于另一類船的理論人均花費時，應當繼續枚舉，不斷減少理論人均花費少的船隻數量，并相應增加另一類船隻數量；
8. 直到首次出現兩類船的每一艘都坐滿[8]，代入此時的x、y即可求出最少總花費.

【步驟】

以人均花費為依據的枚舉解題步驟

【講解】

1. 大船租金90元，大船可坐10人，大船理論人均花費：90÷10=9（元/人），括号内單位這樣寫是為了提醒同學們這個9元是“人均”；小船租金40元，小船可坐4人，小船理論人均花費：40÷4=10（元/人）；由于大船的人均9元/人小于小船的人均10元/人，所以我們應該盡量使用大船；
2. 38人除以10人等于3整艘大船餘8人，所以最多租4艘大船，此時總花費：90×4=360（元）；
3. 但最多可坐10人的第4艘大船隻坐了8人，該艘大船的實際人均花費為：90÷8=11.25（元/人），這個人均11.25元已經大于了小船的理論人均10元，說明如果把這8人放在若幹小船上并坐滿，是比租一艘大船更劃算的；
4. 而如果租3艘大船，剩餘8人租小船：8÷4=2（艘），總花費：90×3 40×2=350（元）；
5. 4艘大船的總花費360元大于3艘大船2艘小船的總花費350元，所以第二種方案更優；
6. 若繼續枚舉2艘大船、1艘大船、0艘大船，均不能找到更優方案[9][10]，因此确定“3艘大船2艘小船”為最優方案.

【總結】

1. 這類題目的本質是在多種約束條件下解非負整數不定方程mx ny=A，（m、n、A均為已知數）；
2. 一定要事先計算x和y的理論人均從而确定枚舉x還是枚舉y（不妨設x為枚舉對象）；
3. 若x最大等于x0時已經有(x0,y0)滿足不定方程，則(x0,y0)已是最優解；
4. 若上一條不滿足，則繼續從大到小枚舉x，直到第一次出現(x1,y1)滿足不定方程，此時(x1,y1)是最優解[11].

參考

1. ^其實就是中學的線性規劃：設大船x隻小船y隻，滿足：①x,y為整數②0≤x≤4③0≤y≤10④10x 4y≥38，使目标函數：90x 40y最小.
2. ^枚舉法多适用于整數不定方程，如2x y=10，我們對x按從小到大的順序依次枚舉有以下非負整數解(x,y)：(1,8)(2,6)(3,4)(4,2)(5,0).
3. ^對大船數x枚舉還是對小船數y枚舉
4. ^從多到少枚舉還是從少到多枚舉
5. ^租整艘船的花費除以最多可坐人數.
6. ^假如全班40人，租大船90元坐10人，租小船40元坐4人，因為大船人均9元小于小船人均10元，所以選大船，又因為40人÷10人/艘=4艘，所以租4艘大船，并且每艘船都滿員.
7. ^租整艘船的花費除以船上實際人數.
8. ^根據經驗，題目至少有一種兩類船都坐滿的方案
9. ^設大船數為x，小船數為y，非負整數解(x,y)滿足10x 4y=38時一定比滿足10x 4y＞38更優，因為理論人均一定小于實際人均.
10. ^若非負整數解(x1,y1)與(x2,y2)都滿足不定方程10x 4y=38，且x1＞x2，則(x1,y1)更優，因為大船理論人均小于小船理論人均，這也是為什麼我們要從多到少去枚舉大船數x，這樣做保證了最少的枚舉次數.
11. ^再次強調，由于是對x從大到小枚舉，枚舉到的x1一定比枚舉到後面的某個x2大

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