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租船問題有哪些

生活 更新时间:2025-06-17 01:03:28

租船問題有哪些(沒人比我更懂租船)1

租船問題有哪些(沒人比我更懂租船)2

很榮幸,網上有數學老師邀請我解答一個問題——

春遊時,全班38人要坐船遊玩,每隻大船可以坐10個人,租金為90元;每隻小船可以坐4人,租金為40元,那麼應該租幾隻大船幾隻小船才能使總花費最少?

網上某老師提問

租船問題有哪些(沒人比我更懂租船)3

【序】

既然是老師提問,就不能隻講這一道題怎麼做,而是深入講一講這一類題怎麼做,或是這一種數學模型有何特征,有何通用解決方案.

以下是我的嘗試,雖然有些标題黨嫌疑,但仍希望能讓大家對這類租船問題有一種全新的認識.

【思路】
  1. 本題是多個約束條件下對大船數x與小船數y在自然數範圍内尋求最優方案[1]的應用題;
  2. 本題在小學階段我們更多采用枚舉法[2]嘗試;
  3. 枚舉前應先确定枚舉類型[3]和枚舉方向[4];
  4. 确定枚舉類型的依據是船的理論人均花費[5],理論人均花費較少者為枚舉對象;
  5. 為了讓總花費最少,要盡可能多用理論人均花費少的船隻,所以枚舉方向應是從多到少;
  6. 如果理論人均花費少的那類船全都坐滿[6],就已經達到總花費最優;
  7. 如果最後一艘船沒有坐滿,且最後一艘船的實際人均花費[7]大于另一類船的理論人均花費時,應當繼續枚舉,不斷減少理論人均花費少的船隻數量,并相應增加另一類船隻數量;
  8. 直到首次出現兩類船的每一艘都坐滿[8],代入此時的x、y即可求出最少總花費.
【步驟】

租船問題有哪些(沒人比我更懂租船)4

以人均花費為依據的枚舉解題步驟

【講解】
  1. 大船租金90元,大船可坐10人,大船理論人均花費:90÷10=9(元/人),括号内單位這樣寫是為了提醒同學們這個9元是“人均”;小船租金40元,小船可坐4人,小船理論人均花費:40÷4=10(元/人);由于大船的人均9元/人小于小船的人均10元/人,所以我們應該盡量使用大船;
  2. 38人除以10人等于3整艘大船餘8人,所以最多租4艘大船,此時總花費:90×4=360(元);
  3. 但最多可坐10人的第4艘大船隻坐了8人,該艘大船的實際人均花費為:90÷8=11.25(元/人),這個人均11.25元已經大于了小船的理論人均10元,說明如果把這8人放在若幹小船上并坐滿,是比租一艘大船更劃算的;
  4. 而如果租3艘大船,剩餘8人租小船:8÷4=2(艘),總花費:90×3 40×2=350(元);
  5. 4艘大船的總花費360元大于3艘大船2艘小船的總花費350元,所以第二種方案更優;
  6. 若繼續枚舉2艘大船、1艘大船、0艘大船,均不能找到更優方案[9][10],因此确定“3艘大船2艘小船”為最優方案.
【總結】
  1. 這類題目的本質是在多種約束條件下解非負整數不定方程mx ny=A,(m、n、A均為已知數);
  2. 一定要事先計算x和y的理論人均從而确定枚舉x還是枚舉y(不妨設x為枚舉對象);
  3. 若x最大等于x0時已經有(x0,y0)滿足不定方程,則(x0,y0)已是最優解;
  4. 若上一條不滿足,則繼續從大到小枚舉x,直到第一次出現(x1,y1)滿足不定方程,此時(x1,y1)是最優解[11].
參考
  1. ^其實就是中學的線性規劃:設大船x隻小船y隻,滿足:①x,y為整數②0≤x≤4③0≤y≤10④10x 4y≥38,使目标函數:90x 40y最小.
  2. ^枚舉法多适用于整數不定方程,如2x y=10,我們對x按從小到大的順序依次枚舉有以下非負整數解(x,y):(1,8)(2,6)(3,4)(4,2)(5,0).
  3. ^對大船數x枚舉還是對小船數y枚舉
  4. ^從多到少枚舉還是從少到多枚舉
  5. ^租整艘船的花費除以最多可坐人數.
  6. ^假如全班40人,租大船90元坐10人,租小船40元坐4人,因為大船人均9元小于小船人均10元,所以選大船,又因為40人÷10人/艘=4艘,所以租4艘大船,并且每艘船都滿員.
  7. ^租整艘船的花費除以船上實際人數.
  8. ^根據經驗,題目至少有一種兩類船都坐滿的方案
  9. ^設大船數為x,小船數為y,非負整數解(x,y)滿足10x 4y=38時一定比滿足10x 4y>38更優,因為理論人均一定小于實際人均.
  10. ^若非負整數解(x1,y1)與(x2,y2)都滿足不定方程10x 4y=38,且x1>x2,則(x1,y1)更優,因為大船理論人均小于小船理論人均,這也是為什麼我們要從多到少去枚舉大船數x,這樣做保證了最少的枚舉次數.
  11. ^再次強調,由于是對x從大到小枚舉,枚舉到的x1一定比枚舉到後面的某個x2大
【看到這的你已經是租船專家了,點贊升級為租船大師】,

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