換元法

引入一個或幾個新變量,代替原式中的某些量,使得原式中僅含有這些新變量,從而使問題得到簡化,然後對新變量求出結果,再代回原變量求其結果,這種解決問題的方法叫作換元法.

換元法是數學中的重要方法之一,它往往和消元的思想聯系在一起.換元的實質就是“轉化”的數學思想,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換.換元的基本方法有:整體換元、局部換元、均值換元、三角換元等.換元法的一般步驟為:設元(或構造元)、換元、求解、回代和檢驗等.

（1）換元法在整式運算中的應用

初中數學問題中,常見的就是整式運算問題.在整式運算中經常會出現相對複雜的題目,這就需要在解題過程中将結構相同的部分看成一個整體,并用新元去替換它,将綜合性強的問題轉換成普通問題.

【典型例題】

【思路分析】從題目中可發現,第一個括号中的式子=1-第四個括号中的式子,第三個括号中的式子=1-第二個括号中的式子.所以我們可以把第四個括号中的式子、第二個括号中的式子整體設元.

【答案解析】設2 3 4 … 999=a,2 3 4 … 998=b,則有a-b=999.

所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b ab=a-b=999.

【歸納總結】解題之前可以先觀察題目,發現并探究相同的式子,然後用字母将相同部分替換,計算相對快捷簡便.從此題中還可以發現,每兩組括号都會相差999,第三個括号比第一個括号中少了999,第二個括号比第四個括号中多了999.

所以還可以這樣設元、換元:設1-2-3-…-998=a,2 3 4 … 998=b,則有a b=1那麼原式就變換a·(b 999)-(a-999)b=999(a b)=999.所以換元方法不止一種,可以靈活選擇.

（2）換元法在因式分解中的應用

初中數學問題中的重要内容之一就是因式分解.用換元法分解因式,它的基本思路就是将

多項式中的某一部分用新的變量替換,減少因式項數或者降低次數,同時,讓隐含的關系清晰地表現出來,從而使運算過程簡明清晰.

【典型例題】

【思路分析】認真觀察題目的結構,可以發現(x-4)(x 1)=x²-3x-4,(x-2)(x-1)=x²-3x 2,它們的二次項、一次項完全相同,這就具備了換元的條件,使用換元法進行降次處理,就使得分解變得簡單易行.在設輔助未知數時,方法比較靈活,如可設x²-3x=a,或設x²-3x-4=a等,一般地,設輔助元為x²-3x-4和x²-3x 2的算術平均式比較簡捷.

【答案解析】

（3）換元法在解方程(組)中的應用

掌握運用換元法解方程和方程組是初中數學的一個重點要求,而在解高次方程、分式方

程、無理方程時,要注意方程的特點,創造運用換元法的條件,往往會簡化求解過程.

A.高次方程

解一元高次方程的基本思想是降次,而換元法是降次的一種基本方法.用換元法解高次方

程的思路,與用換元法分解因式的思路一緻.

【典型例題】

【思路分析】這個方程左邊的兩個因式中都含有x² 3x,于是解此題可設x² 3x 4=y或

者x² 3x=y,當然與分解因式類似,也可設兩個因式的算術平均式為輔助元,不過此題中算

術平均式為x2 3x 9/2,計算并不方便.所以輔助元的選擇要根據題意靈活地掌握.

【答案解析】

B.分式方程

運用換元法解分式方程的基本思路是化分式方程為整式方程.

【典型例題】

【思路分析】

【答案解析】

C.無理方程

運用換元法解無理方程的基本思路是化無理方程為有理方程.

【典型例題】

【思路分析】當無理方程的有理式部分與無理式部分所含未知數的項的系數成比例(包括相等)時,把無理式部分設為輔助元.此方程組中存在兩組這樣的關系,所以需設兩個輔助元.用 換元法解方程或方程組,雖然能把複雜的方程(組)簡單化,但用此方法必須驗根,因為在換元 過程中(特别是分式方程和無理方程)常會出現增根.

【答案解析】

（4）換元法在證明中的應用

換元法在證明中應用廣泛,比如一元二次方程根的問題、不等式的證明、幾何問題等,證明題利用換元法十分簡捷.常采用的方法有增量換元法、均值換元法等.

【典型例題】

【思路分析】因為b c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分别給b,c在4的基礎上加上一個變量,這兩個變量之和應為0,所以為簡便起見,一個表示為t,另外一個則為-t.所以設b=4 t,c=4-t.又因為b,c都大于0,所以可以求出t值的取值範圍.到此,設輔助元完成,然後代入換元即可.像這樣,若某幾個變量之和為一定值,則可求出其均值,則這幾個變量都在均值這一常量附近變化,此時,可設這幾個變量為該均值加上另外幾個變量.新加入的變量之和為0,這種換元方法叫作均值換元法.

【答案解析】

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