tft每日頭條

 > 圖文

 > 等差數列求和的萬能公式

等差數列求和的萬能公式

圖文 更新时间:2024-12-23 16:24:53

等差數列求和的萬能公式? (一)等差數列求和公式,我來為大家科普一下關于等差數列求和的萬能公式?以下内容希望對你有幫助!

等差數列求和的萬能公式(等差數列求和公式)1

等差數列求和的萬能公式

(一)等差數列求和公式

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若将這類數列适當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然後分别求和,再将其合并即可.

5.裂項相消法

适用于分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n 1)-f(n),然後累加時抵消中間的許多項。

小結:此類變形的特點是将原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了。隻剩下有限的幾項。

注意:餘下的項具有如下的特點

1、餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2、餘下的項前後的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地,證明一個與正整數n有關的命題,有如下步驟:

(1)證明當n取第一個值時命題成立;

(2)假設當n=k(k≥n的第一個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k 1時命題也成立。

例:

求證:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… n(n 1)(n 2)(n 3) = [n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

證明:

當n=1時,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時成立,于是:

1×2x3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… k(k 1)(k 2)(k 3) = [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

則當n=k 1時有:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= 1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 …… k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1時原等式仍然成立,歸納得證

7.并項求和法

(常采用先試探後求和的方法)

例:1-2 3-4 5-6 …… (2n-1)-2n

方法一:(并項)

求出奇數項和偶數項的和,再相減。

方法二:

(1-2) (3-4) (5-6) …… [(2n-1)-2n]

方法三:

構造新的數列,可借用等差數列與等比數列的複合。

an=n(-1)^(n 1)

(二)等差數列判定及其性質

等差數列的判定

(1)a(n 1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。

(2)2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

(3)a(n)=kn b [k、b為常數,n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

(4)S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B為常數,A不為0,n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數列。

特殊性質

在有窮等差數列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和;特别的,若項數為奇數,還等于中間項的2倍,

即,a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中

例:數列:1,3,5,7,9,11中a(1) a(6)=12 ; a(2) a(5)=12 ; a(3) a(4)=12 ; 即,在有窮等差數列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。

數列:1,3,5,7,9中a(1) a(5)=10 ; a(2) a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ; 即,若項數為奇數,和等于中間項的2倍,另見,等差中項。

聲明:以上來自網絡,若有侵權請聯系更改或者删除!!

更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部

相关圖文资讯推荐

热门圖文资讯推荐

网友关注

Copyright 2023-2024 - www.tftnews.com All Rights Reserved