這是我給學生專門收集的專題訓練學案，分享給有需要的讀者。

指對數若作為純函數題來考，在“寸題寸金”的試卷上不太可能出現基礎的函數運算，若結合函數性質，指對數常見的奇偶單調對稱更多屬于套路題，很難出得有區分度，若将指對數和其它函數雜糅考函數圖像，其本質依舊是性質的延伸，無非外加特殊點和極限值，因此若指對數非得出在純函數裡面，那就隻剩下兩個選擇，即最原始的指對數比大小題目和互為反函數的指對數間的相互轉化。

這裡的最原始的指對數比大小指的是無需構造函數，通過轉化底數指數真數以及使用擴大縮小值或借助不等式或本身的公式等方法，技巧性靈活性很高，這類問題在早幾年還會考到，但最近幾年此類問題逐漸淡出視野，這種指對數比大小題目屬于第一層維度。

若作為純函數題，我更覺得指對數利用互為反函數互相轉化後再借助一丢丢的構造法這種題目更加值得一出，這種題目既考查了運算法則同構轉化能力又考查學生的觀察能力，可惜高考題卻對此不甚感冒，但地方模拟題有的時候出得很好，舉一例子：

從題目來看，若此類問題出得精彩必定要涉及函數構造法和導數，若指對數不從純函數的角度出發，結合指對數本身的知識點，則必定需要借助導數來解決相關的函數問題，在選填中排除老套的題型之外(例如指對數混合的零點求參問題)，最佳的題型就是構造函數比大小了。

這類問題難在哪裡，大緻有三點，第一是指對數明明長得不一樣，但兩者互為反函數，卻可以互相轉化，而很多學生很難熟練地轉化指對數這兩種不同的函數物種，這種轉化稱之為同構，也是導數大題中簡化指對數混合函數的常用解法；第二是不明白構造函數的方向，針對這種方向指對數比大小的題目又有兩層維度，第二層維度是題目會明确提供具有明顯對稱形式的條件，此時所需構造的函數很容易确定，第三層維度是題目不具備對稱形式，需要觀察兩個式子的關聯，選取合适的變量和函導數模型，這也是這兩年最常見的考試形式；第三是即便清楚如何構造函數，但小題中出現導數的大題步驟，解題時間不足，因此針對這種情況，出題人可能不再要求常規的導數判斷單調性以及求最值，而是借助常見放縮或極限法省去常規導數解法。

這種屬于入門題目，不屬于任何維度，三個數值具有明确的正負大小關系，算是開胃甜點。

第二題依舊是入門題目，隻是加入了相對準确一些的數值估算，這也是比大小題目的必備技能。

第3題步入第一層維度，隻考慮b,c，在底數真數均不同且不能轉化且估值均接近的情況下，常需借助換底公式或同比例擴大或縮小數值的方法，本題采用換底公式後用均值不等式或對數函數的逆向運算均可。

從第4題開始步入第二層維度，即具有明确對稱性的函數構造法，三個等式形式相同，變量與變量結合，常數與常數結合，所需構造的函數類型很容易确定，這種題目在高考中其難度甚至不如第一層維度。

第5題依舊屬于第二層維度，值得一提的是，奇怪的指數通常要轉化為同底的對數來處理。

從第6題開始題目的形式基本上就失去了對稱性，a,b具有某些相似的形态，若隻看a,b，在同為對數的形式下構造函數時的變量常為真數部分，若以b為參考點，将真數3所在的部分當作變量，則b=3-4ln3 1,若以a為參考點，将真數2所在的部分當作變量，則a=2-8ln2 3，發現兩者形式并不統一，若将a變為a=5-4ln4=4-4ln4 1，則a,b具有相同的形式，可統一構造函數為f(x)=x-4lnx 1。

既然a,b可統一構造，則c必定也符合構造形式，結合構造的函數形式以及c指數的形式，将三者統一構造為函數f(x)=e^lnx-4lnx 1即可，為了避免複合函數求導，下述是把指數的整體看作變量，即f(x)=e^x-4x 1

本題構造函數是一難點，但真正的難點是在判斷5/4和ln3，ln4的大小比較上，對數和常數比較時，若常數不能轉化為同底的對數，真數和常數形态關聯性不大且估值相近時，通常需要借助對數函數的放縮形式，本題即如此，但ln2,ln3,ln4的估計值是要求記住的，因此也可直接比較大小。

第7題相較于上題構造形式更容易确定，從a和b的形式變形即可确定函數形式，c雖然形式上與a,b不同，但得知構造形态後往函數上靠攏還是很容易的，解題的突破口就是兩個具有相似形态的數值上。

第8題和第7題類似，可以先從a,c上試着構造函數，b往構造的形式上靠即可。

當比大小出現三角函數值時，有兩種處理形式，可以使用三角函數的放縮形式，例如當0<x<1時，sinx<x<tanx，或者将三角函數作為構造函數的一部分，但這樣構造的函數用導數處理起來并不容易。

本題隻需比較a,b即可，雖然一個為常數一個為對數，但常數和對數的真數有聯系，構造函數時ln(x 1)為常用的函數形态，21/11=1 10/11=1 2×5/11，構造函數即可确定出。

第10題是特征性很強的題目，能看出肯定以0.001所在的部分為函數的變量，0.001和0.999關系容易确定，1/999和0.001有關聯也無關聯，0.001=1/1000=1/(999 1)，可将1/999整體作為變量作替換，若依舊選擇0.001為變量，可将a,b同時取對數相減，真數部分就會出現與0.001直接有關聯的形式了。

第11題比較a,c時選擇變量構造函數較為容易，若比較b,c，4/5和1/5有關聯，因此比大小時相除比相減更容易确定所需構造函數形式，但要保證在兩數值符号相同的前提下進行。

第12題區别于上述題中構造函數後需要求導确定單調性後利用端點值進行符号判斷，有時候構造函數後根據常用的指對數放縮形式即可确定函數整體的符号，這是第三層維度最有可能的變化趨勢，a,c比大小時用到的放縮形式很容易确定，但b,c比大小用到的放縮形式就需要好好思考一下了，關鍵在于ln2x前有系數e，因此需要選用lnx≤x/e這種放縮形式的變形。

第13題和第10題有些類似，比較b,c時1/10和1/11如果非得用1/11=1/(10 1)來确定，此時就得判斷所構造函數在x=10處的函數值，這種方法并不理想，所幸本題直接判斷函數極限值也能确定出函數的整體符号，若依舊選擇1/10作為變量，直接将1/11替換即可，這樣更容易一些。

第14題判斷b,c時用到了放縮法，比較a,b時用到了換元思想，在了解上述題目方法之後第14題不是難題。

最後說一句，構造的函數對不對其實可以一眼看出，即需要判斷的函數值必須與一個最接近且函數值較為特殊的點進行比較，例如判斷f(0.1)的符号，若知道函數f(x)在[0,1)單調且f(0)=0即可知道f(0.1)的正負，或者函數f(x)在[0,1)單增且f(0)>0、f(x)在[0,1)單減且f(0)<0均可以确定f(0.1)的正負。

建議回顧2022年高考真題中的三道構造函數比大小的題目，鍊接為：

2022年全國甲卷高考數學中的函數構造思想

成績出來後再看2022年新高考1卷數學，真有那麼難嗎？

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