此題圖形簡潔明了、結論優美,結構比較常見,思路很多,但是解決起來都不是很簡單,是一個難得的好題。
其解決思路主要是兩大類,要麼着重用代數計算,要麼着重用幾何意義(因為公切點及抛物線焦點的幾何性質很豐富),當然最終還是要數形結合,綜合運用代數和幾何知識解決。
思路一:
設出圓心和A點坐标,依題意圓和抛物線在A處有共同的切線,由垂直和CA=r列出兩個方程,解出兩個未知數即可。
思路二:
聯立圓和橢圓,消去x,用y表示出r,依題意r為此表達式的最小值,求導或者不等式求出此最值即可。
解法二(參考答案的方法):
思路三:
利用抛物線和圓的幾何性質,
可得△BAF為等邊三角形,由此即可求出r。
解法三:
設切線交x軸于B,A在x軸上投影為D,
C在AD上投影為E。
由BA,BF為圓的切線知BA=BF,
由本系列第14講(《抛物線3——圓錐曲線講義之十四》)第10題知FB=FA且OD=OB,
故△BAF為等邊三角形且FD=DO,
故CE=FD=2/3,
又∠CAE=60°,
注:
(1)上述三種解法各有千秋,殊途同歸。不過比較而言,第一種解法更自然也最簡潔。第二種方法雖然好想到,但是聯立消去y後不太好處理,隻有想到r為其最值才能入手,求最值時上述均值不等式結果不太好湊出來,當然也可以用導數得到。解法三充分利用第10題的結果,得到等邊三角形後也可以由斜率求出A點坐标,不過那樣計算會麻煩不少。隻需繼續使用第10題得到FD即可求出r。解法三計算量最小,但是要用到幾何性質,而且如果圓和x軸的切點不是焦點就沒法處理了。
(2)本題也能推廣到一般的抛物線中,如果和x軸切點為焦點,則結果比較漂亮。如果不是焦點,也能解出答案,不過有點複雜,有興趣的讀者可以自行研究。
(3)一般此類圓錐曲線間相切的問題都可以設出切點,用解法一得到他們有共同的切線,可以統一處理。
無獨有偶,圓錐曲線間相切的此類問題在高考和競賽中屢見不鮮,下面看一下本題的一個源頭:2012年高考大綱卷的21題.
思路分析:
設出A的坐标,求導得到過A的抛物線斜率,由圓和抛物線有共同的切線知MA和切線垂直,由此列出方程解出A坐标即可求出r。然後得到抛物線切線方程,由其和圓相切由點到直線距離公式得到等式,聯立抛物線兩條切線得到D點表達式,帶入即得解出D點坐标,最後求出D到l距離即可。
注:
(1) 本題是一個精妙的抛物線和圓相切的問題,首先必須利用切線斜率和MA垂直得到一個等式。下面難點是解方程。不過本題設計的很巧合,方程的根為0,這就大大降低了難度。
第二問必須設出抛物線切點,得到切線的一般方程,由其和圓相切得到圓心到直線距離為r。下一個難點還是在于展開并求解此四次方程。好在此方程有兩個解都是0。這就化為二次方程就能很容易解得了,當然這并不是巧合,因為一般的圓和抛物線會有四條公切線,而由第一問得到兩條内功切線重合,而且切點橫坐标為0,所以在解此四次方程的時候就能知道他必然有兩個零根,否則一定計算出錯了。還有本題中不需要計算出另外兩個抛物線切點的橫坐标,因為D的坐标隻和兩根和及積有關,所以利用韋達定理能降低計算量。
(2) 比較而言,此題雖然是高考題,但是其難度是高于第一題的聯賽題的。所以我一直在說在解析幾何題上,競賽和高考之間沒有嚴格的界限,高考題可以作為競賽題,競賽題也可以作為高考題,你中有我,我中有你。很多時候高考解析幾何題的難度還會高于聯賽試題。
(3) 當然利用這個套路,本題還可以提升難度,利用把切點的坐标設計的更一般一點,利用其橫坐标可以為1,2等。這樣第一問就要解一個三次方程,必須通過試根來分解因式。這樣就能作為一個難度較高的競賽試題了。而且第二問中的四次方程,必然有兩個根均為第一問中的結果,所以也要合理的分解因式,難度就大大的增加了。當然更一般的,如果此三次方程沒有有理根,第一問三次方程就沒法解了。雖然理論上講,三次方程也有求根公式(一般稱為卡丹公式),不過因為過于複雜,在高考和競賽中幾乎從來沒有考過一般的三次方程的解。所以我們在高考或者競賽中如果遇到解整系數三次方程,幾乎必然是存在整數根的,根幾乎必然在0,±1,±2,±3中,如果沒有這些根,估計你就計算出錯了。
本文又講解了兩個圓和抛物線公切線的問題,此類問題一般是比較困難的,不過一般的兩個曲線有唯一公共點的問題的套路都是設出切點坐标,然後由他們有共同的切線得出方程,解方程即可。
這樣抛物線系列文章基本告一段落了。後面再寫雙曲線有關的文章。
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!