在這個問題中，我們将離開平面， 進入三維空間。你以前肯定聽說過柏拉圖立體， 正四面體（三角形組成的棱錐體）和正立方體這些規則的立體都屬于柏拉圖立體。

[遇見數學]小編：在幾何學中，凸正多面體，又稱為柏拉圖立體(Platonic solid)。柏拉圖的朋友泰阿泰德告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便将這些立體寫在《蒂邁歐篇》（Timaeus） 内。

柏拉圖立體由規則的多邊形組成。例如，正四面體中的等邊三角形或者正立方體中的正方形。此外，每個頂點上的棱邊數相同。世界上隻有 5 種柏拉圖立體，命名方式提示了它們各自有幾個面 ：

• 正四面體（4 個正三角形組成 4 個面）
• 正六面體（6 個正方形組成 6 個面，即正立方體）
• 正八面體（8 個正三角形組成 8 個面）
• 正十二面體（12 個正五邊形組成 12 個面）
• 正二十面體（20 個正三角形組成 20 個面）

▲ [遇見數學] 2020 數學台曆 10 月份設計圖

問題來了 ：為什麼隻有這 5 種柏拉圖立體？

這個問題乍看很複雜。為什麼我用 60 個或 80 個正三角形不能構成一個封閉空間的立體？為什麼正七邊形也不行？

解答跟之前一樣，非常簡單。我們仔細觀察一下柏拉圖立體的頂點，一個頂點至少由 3 個側面組成。正四面體、正立方體和正十二面體（五邊形）正好是 3 個側面組成一個頂點，正八面體是 4 個側面，正二十面體則為 5 個側面組成一個頂點。我們可以把組成一個這樣頂點的側面，像折紙一樣展開，展開後的形狀如下頁圖形所示。

我們可以稍微折一下所有的棱邊，在白色條狀紙面上塗一些膠水，再把它粘在對面棱邊的下面，這樣，我們就構成了一個頂點。

▲ 正四面體的一個頂點及相鄰側面

如果你仔細觀察這些以頂點為中心展開的圖形， 你就會發現這 5 個圖形都有缺口。它們也必須有缺口，否則無法将這些多邊形組成一個空間上的頂點。組成頂點的棱邊，必須輕微折一下，這樣才能封閉缺口。換句話說 ：各個 n 邊形相交于一個頂點的内角和必須小于 360°。

也許你已經明白了 ：為什麼等邊三角形隻能組成 3 個柏拉圖立體。在正四面體中，3 個三角形組成一個頂點，内角和為 3×60°=180°；在正八面體中，有 4 個三角形，即 4×60°=240°；正二十面體有 5 個三角形，即 5×60°=300°。如果再加一個三角形，内角和則達到了 360°，這就太多了。

▲ 正八面體

我們用正方形隻能構建一個正立方體，3 個正方形組成一個頂點，其内角和為 3×90°=270°。4 個正方形的内角和為 360°，這對柏拉圖立體來說也是太多了。正五邊形的每個内角為 108°。3 個這樣的五邊形的内角和仍然小于 360°，4 個五邊形則超過了限制，因此用正五邊形就無法再構建其他的柏拉圖立體。

▲ 正二十面體

但是，不僅有正三角形、正方形和正五邊形，如果用正六邊形會怎麼樣？正六邊形的每個内角正好是 120°， 因此構成一個頂點的 3 個正六邊形之間就沒有空隙了，它們完全可以鋪成一個平面，見下一頁的圖。所以，這樣就不能構成柏拉圖立體所必需的空間上的頂點了。正七邊形就更加不會産生空隙了。正七邊形的内角大于 120 °。如果我們将 3 個正七邊形放在能構成頂點的一個平面上，就會産生重疊，這樣就自然不會構成空間上的立體。n≥7 的所有正 n 邊形都是這樣的。

▲ 正六面體,正十二面體, 正六邊形組成的立體

我們以上所用的折紙技巧就可以證明，除了這五個已知的柏拉圖立體之外，沒有其他的柏拉圖立體。這個證明比畢達哥拉斯定理稍難理解一些，但是它讓我們運用了空間思維，還讓我們充分利用了小時候玩折紙模型的經驗。這就是我愛它的原因。

不過，當我最近參觀哥本哈根附近的方舟現代藝術博物館時，我曾有過短暫的懷疑，有沒有可能存在更多的柏拉圖立體。你可以仔細觀察一下下面的照片。

▲ 圖自 uk.arken.dk

這個可以攀爬的支架看似由正六邊形組成，它由來自冰島的奧拉維爾•埃利亞松（Olafur Eliasson）設計，就在博物館旁邊。這些六邊形構成了球體表面的一部分，另一大部分球體則位于地面以下——至少看起來是的。我甚至不用數這個架子是由幾個六邊形組成的，就能很快清楚它不可能是柏拉圖立體。

位于哥本哈根附近的方舟現代藝術博物館的雕塑品，類似一種柏拉圖立體這些六邊形不可能是正六邊形，因為如果是正六邊形，就不會形成彎曲的球體表面。正六邊形的六條邊長度相同，不過，這裡的六邊形與正六邊形之間有極其細小的差别，使我們根本察覺不到。此外，這個架子還包含五邊形，不過在這張照片上幾乎無法辨認。

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上文節選自未讀·探索家《你學的數學可能是假的》， [遇見]已獲授權。

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