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為什麼高斯定理要積分兩次

生活更新时间:2024-08-03 23:09:03

高斯函數

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）1

從-∞到 ∞的積分(反常積分)

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）2

稱為高斯積分。

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高斯積分的計算

高斯積分不能直接計算，因為高斯函數e^(-x^2）的原函數不是初等函數。

利用二重積分，我們可以證明高斯積分等于π的平方根:

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）4

推導見同濟大學《高等數學》下冊。

你喝水、看時間或穿衣服時都可以看到推導:

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）5

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）6

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）7

這個結論來之不易，且十分有用，希望讀者能記住。

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更一般的高斯積分是:

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）9

證明不難(隻需作一個積分變換)，留給讀者。

高斯積分的應用

在概率論中，高斯積分可以用來計算正态分布的密度

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）10

的積分

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）11

其結果是1 (整個概率密度的積分總是1)，

即

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或者

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）13

為什麼高斯定理要積分兩次（一個重要的反常積分）14

川大徐小湛 2019/3/28

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