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等價無窮小為什麼來源于泰勒公式

生活 更新时间:2025-02-08 19:50:32

上一期我們推出了一個極限符号

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)1

用來表示:

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)2

我一直不想推新符号,因為,每一個符号,都是(折磨學生的工具)推動科學進步的階梯。這裡解釋一下,不得不推出這個符号,因為這個符号實在很清晰很簡潔。(可以少打好多字)

對于兩個無窮小α,β,如果

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)3

就稱這兩個無窮小等價,記作α~β。

兩個等價的無窮小在極限運算時可以替換,這真是強大的功能。其理論基礎是下面這個定理:

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)4

證明也非常容易,一行就寫完了。

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)5

好吧,我們不要糾結與證明了,直接舉例子比較好玩。

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)6

直接計算幾乎沒辦法,但我們隻要知道sinx~x,關注數學佬公衆号的朋友或許還記得,我們在測量恒星距離的時候,就用x代替sinx進行計算。

那麼,

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)7

是不是很神奇?

常用的無窮小等價公式有這些:

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)8

公式證明不複雜(當年差點沒整死我~)我也不想在這裡掉書袋逐一證明。我隻是好奇,數學家怎麼能想出這麼些等價來,難道他們都不是人!

直到……我看見了這個公式:泰勒展開式

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)9

頓時恍然大悟,WK!無窮小等價不就是泰勒展開式的前兩項嘛。

瞧瞧。

等價無窮小為什麼來源于泰勒公式(等價無窮小與泰勒展開式)10

然後慢慢證明,證明不難,猜猜才難。

再如

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再看一個。

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再舉一個被很多老師用來作反例的例子。

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