接着前幾天的實數與數列極限,今天來整理學習筆記--第二章,函數與函數極限。
P.S.:
第二章
第1節,首先介紹映射的概念,映射分為單射,滿射,雙射。之所以首先介紹映射,是因為後續函數的概念是通過映射的來定義的。函數與映射的關系是,函數是一種特殊的映射,特殊的地方就是函數規定了集合是數集。
函數的确定主要取決于函數的定義域與對應法則。
并非每個對應法則都能由一個數學公式表示的:例如,取整函數,分段函數,符号函數和常值函數。
函數有四種特性:奇偶性,單調性,周期性和有界性
函數之間是可以運算的:滿足條件和規則的四則運算,和複合運算(所謂複合就是函數嵌套函數)
反函數:将函數的因變量作為自變量,自變量作為因變量的函數
初等函數:是基本初等函數 有限次的四則運算或者複合運算所得到的新函數
基本初等函數是初等函數的一部分,都在中學學過
非初等函數則不是有基本初等函數運算得來的,如符号函數
第2節,通過第1節重新認識了函數後,開始了解函數極限。函數與數列有什麼不同呢,數列一定是離散的,函數可以是連續的,例如{an}=1,2,3,4,5... ;而函數f(x)=x x∈R ,f(x)就可以是1,2,3,4,5,5.1,5.001...
第3節,函數極限:
第4節,函數極限的性質:類比數列極限,函數極限同樣具有:
第5節,函數極限的判别法:同樣與數列極限很類似
第6節,這是第二章的最後一個小節:講無窮量
所謂無窮量其實是函數極限的非正常極限 f(x) =∞ x->x0
當 f(x) = ∞ x->x0,則稱f(x) 在x->x0時的一個無窮大量
當 f(x) =-∞ x->x0,則稱f(x) 在x->x0時的一個無窮小量
無窮大量與無窮小量的關系:1/無窮大量 = 無窮小量
無窮小量的運算:滿足±法和乘法 封閉
無窮小量和函數極限的關系:若 f(x)=A x->x0,則f(x)-A 是x->x0時的無窮小量
還有高階無窮小,同階無窮小,和等價無窮小
這裡特别強調等價無窮小:f(x) /g(x) = 1 x->x0 ,作用是計算極限時可以利用等價無窮小做替換方便計算(等價無窮小隻适合替換乘除部分的因子)
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