能被7 11 13整除的數的特征?作者 | 劉瑞祥來源 | 說短論長（ID：ShuoDuanLunChang），現在小編就來說說關于能被7 11 13整除的數的特征?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

能被7 11 13整除的數的特征

作者 | 劉瑞祥

來源 | 說短論長（ID：ShuoDuanLunChang）

我在寫完“我願意這樣講被3整除數的特征”一文并把草稿給網友看完之後，對方提議可以講一講被7、11等整除數的特征。這裡我就講一講，但我不想就事論事地把所有細節都說到，而是根據我的理解，說說重點。自然，我這裡說的都是我個人水平之内能說明白而且認為對于這個主題來說重要的。小學隻講怎樣判斷被2、3、5整除，而且好像也沒有講其中的道理。于是很多人最終也不知道道理，特别是被3整除的問題。關于這一問題我已經在上文講過就不再重複，本文重點講一下被11整除的判斷方法。

判斷能否整除，其實是數論裡“同餘”概念的應用。這裡總的思想是用一個比較好判斷的數代替原來的不好判斷的數，基本的理論依據是：兩個數a、b都能被c整除，則a、b的和與差都能被c整除；如果a和b有且隻有一個能被c整除，則其和、差都不能被c整除。當然，如果a、b都不能被c整除，則其和、差是否能被c整除是不确定的。在研究過程中我們可以先觀察若幹數據，初步歸納出“猜想”，然後進行證明。這裡提到的“歸納”，是從個别到一般的推理方法。很多數論問題，包括很多複雜、深入的問題，都是從歸納現象開始研究的。對推理方法感興趣的讀者可以自己找邏輯入門教材來學習“歸納法”。這裡隻說一點：觀察和歸納給出了研究方向，但這是不嚴格的，所以必須要進行證明——能夠通過證明的就成為定理，被否定了的猜想無論看上去多麼美麗都要放棄，暫時證明不了的就隻能成為“懸案”。

下面我們給出判斷能否被11整除數的方法，觀察和歸納的步驟就略去了，但不代表不重要：

方法一：去掉數字的最後一位，用剩下的數減去所去掉的數字，剩餘部分如果能被11整除，原來的數就能被11整除，反之則不能。

例如836，用83減去6得到77，易判斷77是11的倍數，所以836亦是11的倍數。

證明：以三位數為例，設原來的數為abc，即100a 10b c，去掉最後一位并減去後得到10a b-c。（前面帶下劃線的abc表示這個三位數從高位到低位分别是a、b、c，不代表三個字母相乘，本來習慣是在字母上面劃線，但因為公衆号排版的限制，隻好在下面劃線）

因為100a 10b c=(110a 11b)-(10a b-c)，而(110a 11b)的兩項有公因式11，一定能被11整除，所以根據前面提到的理論，(10a b-c)如果能被11整除，原來的數就一定能被11整除；反之，如果(10a b-c)不能被11整除，原來的數也一定不能被11整除。更多位或者更少位的數同理可證。

前面的推理順序其實和我當初思考證明方法的時候有所不同：我是從對比(100a 10b c)和(10a b-c)這裡獲得思路的，然後為了和前面提到的理論對應上，才寫成現在這樣，這也是數學證明題的一個常見書寫技巧。我想對于小學老師來說，這一點也要引起注意。另外要提醒大家的是，有時候我們按照上面步驟得到的結果仍然難以判斷是否可以整除，這時可以對變化後的數再執行同樣的變化，反複進行到能夠判斷出來為止。如16302變化一次成為1628（即1630-2），再變化一次成為154（即162-8），繼續變化為11（即15-4），因此16302可以被11整除。這裡涉及的是“同餘”的傳遞性。

方法二：奇數位上的數字和與偶數位上的數字和相減，所得結果如果能被11整除，則原來的數能被11整除，反之則不能。

仍以836為例，8加6減去3，得到11，所以836可以被11整除。

證明：還是以三位數為例，仍然設原來的數為abc，即100a 10b c。奇數位上的數字和是a c，偶數位就隻有b，則：

因為100a 10b c=(99a 11b) (a-b c)，寫到這裡大家應該已經明白了。但這隻對三位數進行了證明，二位數的情況不難驗證，但更多位呢？比如四、五、六位的情況怎麼證明？就請大家自己思考了。

下面說說如何判斷7、13、17等等的整除，都類似于前面的方法一，但有個重要區别：劃掉最後一位後，用剩餘的數要減去（或者有可能是加上？）劃掉數字的某個倍數。具體是減去或者加上多少倍就請大家自行思考。這并不難，困難的倒是如果讓你教小學生這個知識點，你怎麼辦？

後記：可能很多人會好奇這些比較複雜的判斷方法是怎麼被發現的，說實話我也不知道。印象中我上小學的時候班上有同學帶來了一本數學課外書，裡面有一些相關内容，雖然我沒有看這本書，但是模模糊糊地聽到同學的議論，腦子裡多少有點印象，隻記得要劃掉最後一位然後用剩下部分減去劃掉數字的某個倍數。至于本文的方法二，好像是我上學時某年的寒假或者暑假作業（那種統一出版的作業，類似于現在的練習冊，好像是橫版16開本）裡有一條知識擴展，至于這方面的證明，即使我看過也沒專門記憶。不過對于被17整除的判斷方法，我是初中時某次平時測驗期間，因為已經做完習題閑着沒事時發現的。當然這少不了前面說過的那本小學時讓我有了模糊印象的課外書的功勞：如果沒有那本書的啟發，我是萬萬想不到這種判斷方法的。

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