作者：大神團·楊浩

作者介紹：楊浩，新東方超尖生計劃授課老師，北大學士。全國高中數學聯賽一等獎，高中物理競賽一等獎，獲得北京大學自主招生60分降分。

通向真理的道路往往是曲折的。

我們讀者的數學水平，對于“數軸上的點和實數一一對應，而實數又被分為有理數和無理數”，這句話，顯然是很容易明白的。

然而，世人認同這個公理，卻并不是那麼一帆風順的。第一個發現無理數的學者，甚至被抛進大海淹死。

畢達哥拉斯學派

無理數的發現，要追溯到古典希臘數學時期（公元前600年—公元前300年）的畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯學派由古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成，他們認為宇宙可以用一個單獨的主要原理加以說明，這原理就是——

“數皆萬物，萬物皆數”。

他們認為，事物的性質是由某種數量關系決定的，萬物按照一定的數量比例而構成和諧的秩序。

由此，他們提出了“美是和諧”的觀點，把美學視為自然科學的一個組成部分，在對數學的探索中，不斷地追求美的形式。

希臘人的一個重大貢獻是，數學上的東西，比如數、圖形等，都看作思維的抽象，均與實際事物截然不同。而這個觀點，就來自于畢達哥拉斯學派。他們是首先學會将數和圖形等抽象概念單獨進行研究的。

其實那時候，古希臘已經對分數有所應用，但分數隻用在商業上的用途，用于表示錢币和度量單位。正統的希臘數學，對分數這個概念嗤之以鼻。算術在商業上的應用，都是在正統希臘數學範圍之外的。

但是，古希臘的畢達哥拉斯派，他們卻認為“隻有整數才算是數”。他們認為宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比，即用有理數來描述。

無理數的發現

來聽聽下面這段描述：

在一條水平直線上，标出一段線段作為單位長，如果令它的左端點和右端點分别表示0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數都對應着直線上的一個點，并且這樣能把直線上所有的點用完。

确實，這段描述，看起來确實難以找出破綻。然而有一天，畢達哥拉斯學派的一位年輕成員希帕索斯發現，一個正方形的對角線與其一邊的長度之比并不能用整數之比表達。

若正方形的邊長為1，則對角線的長為根号2，這種不能用整數之比表達的數，希帕索斯把它稱為不可公度比。

希帕索斯認為， 既不是整數，也不是分數，是當時人們還沒有認識的新數。

他這一發現，直接動搖了畢達哥拉斯學派的基礎，直接就推翻了他們的理論，引起了學派内廣大信徒的恐慌。

學派在當時隻有兩個選擇：

1、承認他們發現的勾股定理是錯誤的。

2、承認确實存在有理數以外的數。

要知道，畢達哥拉斯學派，可不僅僅是一個數學理論派别。在當時，他們更是一個政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派别。

據史料記載，那個時代，如果想要加入畢達哥拉斯學派，需要參加儀式，接受淨化，并誓言保密。

他們被要求按照一套嚴格的，有時是離奇的規則生活：不能吃肉、不能吃豆子、不能用刀攪動火、不能戴戒指等等。

為了維護學派的威信，他們嚴密封鎖了希帕索斯的發現，并對所有洩露出去的信徒處以極刑——活埋。

然而真理是封鎖不住的，盡管畢達哥拉斯學派規矩森嚴，他的發現還是被許多人知道了。

學派的執法部門追查了許久，最終發現，洩密的人竟然是——希帕索斯本人。

按照規矩，學派計劃要把希帕索斯進行活埋，希帕索斯聽到風聲後，立即逃跑到了國外。在國外流浪了幾年後，由于思念家鄉，他偷偷地返回了希臘。然而他還沒有踏上祖國的土地，畢達哥拉斯的忠實門徒就在海船上發現了希帕索斯。

希帕索斯，就這樣被殘忍的扔進了地中海。

古希臘數學的革命

但是，人們追逐真理的腳步是不停歇的。雖然畢達哥拉斯學派不願意接受，但最終，他們還是開始了相關的研究。

約在公元前370年，柏拉圖的學生歐多克索斯（Eudoxus），通過這樣一段邏輯，解決了關于無理數的問題——

他避免把無理數當做數，通過引入變量的概念，來表示線段長度、角的大小以及其他量與量的比，而不給定具體的數值。

這種新的比例理論給不可公度提供了邏輯依據。

無理數的發現，也成為第一次數學危機的導火索之一。

這次數學危機讓後人意識到，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。

整數的尊崇地位由此，受到了嚴重的挑戰。古希臘的數學觀點更是受到了極大的沖擊。

從這次數學危機開始，幾何學開始在希臘數學中占有了特殊地位，古希臘的幾何學進展也借此得以大大推進。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，建立了幾何學體系。

然而另一方面，歐多克索斯的理論也引發了嚴重的後果。

古希臘的數學界，從一個極端跳躍到了另一個極端。在這以後，他們把數與幾何進行了完全割裂。數學家們全都湧入幾何研究中，認為幾何才是嚴密數學的基礎。

對無理數本身的研究和純代數理論的發展，就此被擱置了近2000年。

古希臘時期，希帕索斯用生命換來了數學的發展，作為新時代青年，我們應該形成自己的獨立思想，鍛煉自己的判斷能力。

牛頓對待真相的态度是：思索，繼續不斷的思索，以待天曙，漸近乃見光明。

這句話，與諸位讀者共勉。

作者介紹：楊浩，新東方超尖生計劃授課老師，北大學士。全國高中數學聯賽一等獎，高中物理競賽一等獎，獲得北京大學自主招生60分降分。新東方智慧學堂（zhihuixuetang_xdf），與精英為伍，成就未來精英。

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