轉發一個通過斯特林公式推導正态分布的方法。内容來自網絡。
本篇的推導全部抄自施利亞耶夫著《概率》。
棣莫弗——拉普拉斯定理:
這次推導可以說是“連續性随機變量”第一次出現在該書中,作為理解連續性随機變量的基礎,正态分布是十分重要的。
斯特林公式:
根據斯特林公式,
得到:
對于0<x<1
由于
這個結論也可以表述為以下的形式:
假設
這裡隻給出等價關系,離相等還差一步。如果中間畫了等号,那麼公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了,即二項分布以正态分布為極限分布。從等價到相等,就是微積分證明的主要思路——略去高階無窮。
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