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正态分布的數學期望推導過程

生活 更新时间:2024-12-24 20:14:22

轉發一個通過斯特林公式推導正态分布的方法。内容來自網絡。

本篇的推導全部抄自施利亞耶夫著《概率》。

棣莫弗——拉普拉斯定理:

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)1

這次推導可以說是“連續性随機變量”第一次出現在該書中,作為理解連續性随機變量的基礎,正态分布是十分重要的。

斯特林公式:

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)2

根據斯特林公式,

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)3

得到:

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)4

對于0<x<1

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)5

由于

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)6

這個結論也可以表述為以下的形式:

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)7

假設

正态分布的數學期望推導過程(正态分布公式的推導過程)8

這裡隻給出等價關系,離相等還差一步。如果中間畫了等号,那麼公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了,即二項分布以正态分布為極限分布。從等價到相等,就是微積分證明的主要思路——略去高階無窮。

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