(作者：劉嶽老師）

數學是一門學科，也是一門科學，作為一門科學的學科，然而有時候卻并不如我們想象的科學那麼可靠。

比如1 1的結果一定等于2嗎？

不一定啊，比如

再比如：本命題是假命題。

如果這個命題是真命題，那麼它又是假命題；如果這個命題是假命題，那麼它又是真命題。那麼它到底是真命題還是假命題？

有些我們堅信不疑的崩塌也隻是在一瞬間，有些甚至我們并不能解釋明白到底是對還是錯，這是數學的魅力之處，也是數學的活力源泉。所以如果有人說，存在一個三角形，它的内角和不是180°，也不用太過驚訝，淡化固有的認知，才會有新知。

幾何一詞來自于希臘語，由“土地”和“測量”兩詞合并而成，也稱“土地測量術”，幾何的出現可追溯到古埃及，有文明出現的地方必然有條母親河，而當雨季來臨，尼羅河水泛濫，就會淹沒了兩岸的耕地，母親河也有發脾氣的時候。當河水褪去，人們需要對沖刷過的土地重新測量，所以就有了最初的幾何。

尼羅河

另外埃及的金字塔同樣能證明古埃及人們對立體幾何也有相當的成就。古希臘“科學鼻祖”泰勒斯也曾到古埃及學習幾何，也間接佐證了古埃及文明的成就。

然而古埃及的幾何僅僅應用于生産生活，還遠未到成為一門學科的地步，更談不上科學，真正讓幾何發展為學科的還是要等到古希臘的時代。

通常所說的古希臘包括希臘半島、愛琴海群島和小亞細亞西岸一帶，古希臘文明大約可以追溯到公元前2800年，一直延續到公元600年左右。

在公元前700—公元前300年左右，以雅典為代表的城邦民主政治的興起，在古希臘掀起了一股學術風，人們往往需要靠理由說服别人，所以在解決問題的時候不僅僅是說“是什麼”，還需說明“為什麼”。

在濃厚的學術氛圍下，誕生了一批傑出的學者，在他們的領導下，也催生出了一些學派，一時百花齊放、百家争鳴，又推動着古希臘科學的發展。

其中，号稱古希臘七賢之首的泰勒斯引領了研究幾何的新方向——論證幾何。即幾何中的結論是需要推導證明的，在一定的已知條件下，通過推理與論證去得到一些其他結論。

泰勒斯

比如以他名字命名的泰勒斯定理：直徑所對的圓周角是直角。因為有了論證，有了推理，數學才能升級成為科學。

将演繹推理提升到一個新高度的是亞裡士多德，他提出了三段論：大前提—小前提—結論。.

舉個例子：

大前提：轉發這篇文章的人都會有好運

小前提：小明轉發了這篇文章

結 論：小明會有好運

這樣的邏輯推理幾乎撐起了幾何學的大廈，而在亞裡士多德之後，一位幾何學的集大成者完成了對古希臘幾何學的大一統。

歐幾裡得，公元前330年出生于雅典，此時，泰勒斯、畢達哥拉斯等上古大神早已化為塵土，亞裡士多德也已老去，相應地，經曆了經曆了數百年的發展，幾何學已初現雛形，這也為歐幾裡得所做的事情打下了堅實的基礎。

《幾何原本》，這個即便過了兩個千年，依然是幾何學裡最經典的教材之一。大約在公元前300年左右，歐幾裡得完成了這本劃時代的著作。

幾何原本

在這本著作中，歐幾裡得首先列出了23條定義，以5條公設和5條公理為基礎，演繹證明了465條定理。内容包括直線與圓的性質、比例論、相似形、數論、立體幾何、窮竭法等共13卷。

歐幾裡得工作的重點不僅在于證明出這麼多結論（事實上很多定理在此之前便已經有了定論），而是要将前人所得到的幾何知識進行整理歸納，以5條公設為基礎、演繹推理為手段，挖掘事實之間的聯系，将原本零零散散的幾何知識擰到一起，構造成了我們如今看到的幾何體系。

就好比，已經有了磚、鋼筋、混凝土等等，歐幾裡得便是那個設計圖紙，将這些材料構建成幾何大廈的那個人，因而我們通常所說的幾何也以他的姓氏命名——歐氏幾何。

在歐氏幾何裡，5條公設尤為重要，因為它們是推導其他結論最初的大前提。

在這5條公設裡有一條最為著名，即第五公設。

不妨先來看看前4條：

（1）任意兩點确定一條直線；

（2）線段可延長為直線；

（3）以任意點為圓心，任意線段為半徑可畫圓；

（4）所有直角都相等。

也許你會覺得這不都是廢話麼，所謂公理，就是這樣一些看起來顯然成立、解釋反而顯得多餘的結論，這樣在運用的時候才不會有争議。反而，看起來不那麼明顯的，則容易招緻非議。

比如，第五公設：

若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的内角之和小于兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必相交。

說得簡單些：過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行。

雖然這個結論看起來并沒有什麼争議之處，但作為公理，尤其是與前4條相比，這條也太不像公理了，不夠簡便、也不夠直接。就好像有5位歌手同台演唱，前4位歌手分别是周傑倫、陳奕迅、林俊傑、王力宏，如果第5位是蔡徐坤的話，你有沒有分分鐘想掐死節目組的沖動。

一代又一代的數學家同樣想掐死歐幾裡得，哦不，掐死這第五公設。

首先，如果在去掉這第五公設，幾何會變成什麼樣？

結果就是你可能證明不了三角形内角和為180°，回想證明過程，不可避免地要利用平行線把三個角彙聚到一起，将内角和轉化為平角從而得到180°的結果。

所以這裡需要平行，那難道就沒别的法子嗎？

法國數學家帕斯卡年幼時提出過這樣的想法，将矩形一分為二便可得到兩個全等的直角三角形，所以任意的直角三角形内角和為180°。

而任意的三角形通過在内部作一邊的高線可化為兩個直角三角形，用兩個直角三角形内角和360°減去一個平角180°，便可得這個三角形的内角和也是180°！

好像，在這個過程中，我們并沒有用平行呐！

但，真的沒有嗎？

仔細回想，這個方法的第1步，矩形，為什麼的它内角和為360°？

考慮如何畫個矩形吧：

第1步：畫一條線段；

第2步：過一端點作垂線；

第3步：作垂線；

第4步：作垂線。

通過作垂線的方式可以得到三個直線，那第4個角呢？為何也是直角？

我們需要第五公設，沒有第五公設的幾何寸步難行！

雖然覺得這個公設很異類，但無可奈何。又有人想着，能不能由前4條公設推出第5條呢？你随便推，退出來算我輸。

如果打不過對方，就去投靠他們。

——凱文·杜蘭特

貌似問題已經得到了終結，但再bug般的存在也抵擋不了曆史車輪的碾壓，經曆了黎明前最後的黑暗，當真相浮出水面，會顯得更加耀眼。

既然不能删去第五公設，那就替換它！

比如，過直線外一點，不存在任意一條直線與已知直線平行。

但是，這好像顯然不成立呐！

在平面中确實不成立，但如果放到球面上，這就太正确了！至于為什麼要涉及球面？不要忘了地球母親就是個球啊！

試想一下，在球面上什麼叫直線？假設把地球當作球面，每一條經線都相當于球面上的直線，赤道也是球面上的直線，而除赤道外的緯線，則都是曲線。

這一點可以從任意兩點間最短的連線考慮，比如我們看地圖上飛機的航線，為何不是畫直線呢？因為在球面上看，這就是直線呐！

再回過頭來看問題本身，比如，過北極點，是否存在直線和赤道平行？這不就是問有沒有經線和赤道平行嘛，答案已經很明顯了。

而且這個結論可以推廣到球面上任意直線與點，所以第五公設不是必不可少，隻不過替換過後的幾何就不能叫歐氏幾何了。

世上有兩種幾何

一種叫歐氏幾何，一種叫非歐幾何

在非歐幾何裡，剛剛所舉的例子叫球面幾何，就是那個黎曼猜想的黎曼。而在黎曼之前，還有人更早提出了非歐幾何的概念。

羅巴切夫斯基，有戰鬥的地方怎能少了戰鬥民族，與黎曼相反，羅巴切夫斯基提出：過直線外一點，有不止一條直線和已知直線平行！

當然也不是在平面上，而是在雙曲面上，也叫馬鞍面。

雙曲面

公理是演繹數學的基礎，當基礎不同的時候，上層建築必定也不一樣。

比如三角形的内角和，在歐氏幾何中結果是180°，而在黎曼幾何裡，内角和大于180°，到了羅氏那裡，就小于180°了。

黎曼幾何額、歐氏幾何、羅氏幾何

甚至，我們可以在球面上畫出一個内角和為270°的三角形，以地球為例，取北極點，赤道上任取一點，由赤道這一點移動四分之一個赤道得到第3個點，這就是了。

在幾何的世界裡，竟有如此精彩的篇章，有先人的成果，有大師的傑作，有挑戰真理的決心，有無所畏懼的勇氣，有開拓者、有踐行者、有創新者，正因如此，經曆起起落落，數學大廈屹立不倒！

謝謝閱讀。

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