“新定義”問題可以考查學生的閱讀能力、适應能力、探索能力、解決問題的能力以及類比、分類讨論等數學思想，它與所考查的知識點有機融合，既能發揮試題的區分功能，也能兼顧基礎知識的整體考察，因此近年來在各地中考中頻頻亮相．現就中考試題進行分類解析，以展示“新定義”問題的獨特之處．

一、定義新“運算”

例1

對于任意非零實數a、b，定義運算“”，使下列式子成立：

分析 由新運算數字等式得出變化規律，即可得解．

點評 本題通過定義新運算，從一個新的視角考查了找規律試題，根據已知得出數字中的變與不變是解題關鍵．

二、定義新“數”

例2若正整數n使得在計算n＋(n＋1)＋（n＋2）的過程中，各數位均不産生進位現象，則稱n為“本位數“．例如2和30是“本位數”，而5和91不是“本位數”，現從所有大于0且小于100的“本位數”中，随機抽取一個數，抽到偶數的概率為________．

分析 滿足題意的“本位數”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根據概率公式計算可得解．

點評 本題定義新數，構思新穎，同時考查了概率公式．

三、定義新“函數”

例3設a、b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為(a，b)．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區間[m，n]上的“閉函數”．

點評 本題綜合考查了二次函數圖象的對稱性和增減性，一次函數、反比例函數圖象的性質解題的關鍵是弄清楚“閉函數”的定義，解題時，也要注意“分類讨論”數學思想的應用．

四、定義新“點”

例4 對于平面直角坐标系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB＝60°，則稱P為⊙C的關聯點．

(1)當⊙O的半徑為1時，①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是_______；②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO＝30°，若直線l上的點P(m，n)是⊙O的關聯點，求m的取值範圍；

(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值範圍．

分析 “新定義”問題最關鍵的是能夠把“新定義”轉化為自己熟悉的知識，通過題意，可以看出本題的“關聯點”本質就是到圓心的距離小于或等于2倍半徑的點．

點評 本題是北京市中考壓軸題，考查的知識點有一次函數、圓、特殊直角三角形等．

五、定義新“線”及新“四邊形”

例5若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．

(1)如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

(2)如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A、B、C均在格點上．請在答題卷給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；

(3)四邊形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．

分析 由新定義，易得(1)(2)．

(3)由AC是四邊形ABCD的和諧線，可得出△ACD是等腰三角形．從圖3得AC＝AD，圖4得AD＝CD，圖5得AC＝CD，三種情況運用等邊三角形、正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．

點評 本題通過定義和諧線、和諧四邊形，考查了等邊三角形、正方形、30°的直角三角形的性質的運用，以及圓弧的概念，解答時容易忽略圖5這種情況，因此，合理運用分類讨論思想是關鍵．

六、定義新“角”

例6 當三角形中一個内角α是另一個内角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°?，那麼這個“特征三角形”的最小内角的度數為_______．

分析 由特征角定義，即可得解，

點評 此題由新定義考查了三角形的内角和定理，根據已知得出β的度數是解題關鍵．

七、定義新“相似”

例7 對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那麼稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那麼稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA與A'B'C'A'環繞的方向相同，因此△ABC與△A'B'C'互為順相似；如圖7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA與A'B'C'A'環繞的方向相反，因此△ABC與△A'B'C'互為逆相似．

(1)根據圖8、圖9和圖10滿足的條件，可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ．其中，互為順相似的是_______；互為逆相似的是_______（填寫所有符合要求的序号）

(2)在銳角△ABC中，∠A<∠B<∠C．點P在△ABC的邊上（不與點A、B、C重合）．過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似．請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由．

分析 (1)略．

(2)根據點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況：

①如圖11，點P在BC(不含點B、C)上，過點P隻能畫出2條截線PQ1、PQ2．

②如圖12，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作∠CBM＝∠A，BM交AC于點M．

當點P在AM(不含點M)上時，過點P1隻能畫出1條截線P1Q；當點P在CM上時，過點P2隻能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，

③如圖13，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于點D、E．[來源:Z xx k.Com]

當點P在AD（不含點D）上時，過點P隻能畫出1條截線P1Q；當點P在DE上時，過點P2隻能畫出2條截線P2Q1、P2Q2；當點P在BE(不含點E)上時，過點P3隻能畫出1條截線P3Q'．

點評 本題從課本習題出發，通過新定義以及恰當的圖形變化，發現圖形間的内在聯系，本題是創新型中考壓軸題，主要考查了相似三角形的知識、分類讨論的數學思想．

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