求解線性定常微分方程：

給定輸入量和初始條件便可以對微分方程求解。

線性定常微分方程的求解方法有經典發和拉式變換法兩種，經典法對于求2階以下系統比較方便，但對于高階微分方程的求解非常困難，而拉式變換法對求解高階微分方程更加方便；

已知二階系統，L=1H，C=1F，R=1Ώ，電容上初始電壓Uo(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓Ui(t)=1V，求電路突然接通電源時電容電壓Uo(t)。

RLC無源電路的二階微分方程為：

令Ui(s)=L[Ui(t)]，Uo(s)=L[Uo(t)]，由拉式變換微分性質：

電壓Uo(t)的導數在t=0時的值:

由此獲得二階微分方程的拉式變換公式：

求得Uo(s):

求取分母多項式的極點：

電路突然接通電源，Ui(t)可以認為階躍輸入信号，Ui(t)=1(t)，Ui(s)=1/s，對Uo(s)求取拉式反變換：

上式中第一項的拉式反變換為：

該項為網絡輸入電壓産生的輸出分量，與初始條件無關，稱為零狀态響應；

上式中第二項的拉式反變換為：

該項由初始條件産生的輸出分量，與輸入電壓無關，稱為零輸入響應；

因此，非零初始條件下單位階躍響應輸出Uo(t)為零狀态響應和零輸入響應的疊加之和：

如果輸入電壓為單位脈沖δ(t)，Ui(s)=L[δ(t)]=1，網絡輸出稱為單位脈沖響應，第一項零狀态響應公式變為：

零輸入響應與零狀态響應無關，因此零輸入響應保持不變。總的網絡單位脈沖響應輸出為：

用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程歸納如下：

1， 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分别進行拉氏變換，将微分方程轉換為變量s的代數方程；

2， 由代數方程求出輸出量拉氏變換函數的表達式；

3， 對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程解。

微分方程解的運動模态：

線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成，通解由微分方程特征根所決定，稱為瞬态分量，表示解随時間瞬時變化過程，也稱為自由運動，特征根的類型和特征根的重根數對自由運動的形态産生不同的影響，單重實數根的運動模态是按指數規律衰減的瞬态分量；單重複數共轭根的運動模态是按指數規律衰減的震蕩瞬态分量；多重根的運動模态不僅按指數規律衰減，而且還與時間乘積有關。

對于一般的微分方程式，拉氏變換反變換的求解方程總結為：

令拉氏代數方程的特征根為：

則求解拉氏反變換：

工程中，通常定義β=180-θ，則上式也可以寫為

上圖說明了階躍響應對應的兩種運動模态，曲線①表示震蕩衰減輸出響應曲線，曲線②表示按指數衰減輸出響應曲線。綠色坐标表示輸出響應坐标，黑色坐标表示運動模态坐标；輸出響應曲線是特解與通解的和；

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