在線性代數知識點摘抄（2），對換、行列式的性質中，我們摘抄了教材上關于行列式元素對換以及行列式性質的相關知識點。這些知識點的學習，目的是為了簡單化行列式的計算。

那麼，行列式為什麼要簡化呢？

我們來看一個簡單的二階行列式：

前面的篇章裡，我們講過，二階行列式對應的幾何意義是平行四邊形，其平面圖形如下圖：

二階行列式的計算比較簡單，相當于兩個二維向量的内積，4*3-2*3=6即是上圖中平行四邊形的面積。

但對于三階及以上的行列式，計算就變得複雜了，維度越高越複雜，簡化行列式就是勢在必行的事了。

那麼，行列式的簡化該如何入手呢？我們來看一個二元一次方程組，如下：

擇出它的系數，對應上面給出的行列式

求解這個方程，比代入法更簡單的是消元法，哪怕隻是兩式減一次，也會讓方程組變得簡單一些，對不對？那麼，我們用（1）式減（2）式，（2）式除以3，得到新的方程組：

這樣計算就簡單很多了吧

擇出它的系數，得到新的行列式：

對應的幾何圖形，如下圖：

它的面積等于2，乘上被方程組的（2）式除掉的3，正好是6，與上一個行列式對應的平行四邊形面積相等，重要的是，它變成了一個正方形。

從上述内容，我們可以得出兩點結論：

1、一個行列式有N多個變形體，它們都是等價；

2、向量為非正交狀态的行列式，可以通過簡化，轉換為正交狀态。

回到第一個行列式，根據行列式的性質，我們對它做幾次簡化：

對應的平行四邊形變化如下圖：

經過行列式的兩次簡化，我們成功地把一個平行四邊形掰直了，兩個向量的内積2*0 0*3=0，也說明它們是垂直的。相應的，所有向量線段都落在了維度軸線上，向量坐标隻剩下一個非零值。

從二階行列式推廣到N階行列式，原理是不變的。

我們把一個行列式看作一個向量空間，行數是它的維度數，列數是向量線段的個數。

行列式的簡化對應多元方程組的消元，那就從行列式的某個角點開始，消掉N維向量線段的N-1個維度坐标。然後，行列式就等于N維向量的标量乘積（N維超立方體）。

以下面的行列式為例：

我們來一個随性操作，哪裡好算出零，先簡化哪裡。

1、第4列 第3列：

2、第2行 第1行；然後，第4行-第3行-第2行和第3行-1/2第2行：

3、第4行-1/7第3行：

總之，隻要你喜歡，從哪個角開始簡化都成，結果都一樣。

即便已經簡化成可計算的三角行列式，仍然可以繼續簡化，直至把它變成對角行列式。

有：

1、提取第2行和第4行的公因子：

2、第1行-3X第4行，第2行-第4行，第3行-3X第4行；然後，第1行 第3行，第2行-第3行，提取公因子（-1），有：

經過最終簡化，變成了對角行列式。把相應的公因子放回到行列式裡，有

可以看出，對比簡化後的對角行列和簡化前的三角行列式，對角線上的數值是一樣的，計算結果也是一樣的。

為什麼會這樣呢？看下圖：

圖一對應三角行列式，圖二對應對角行列式

對于計算圖的平行四邊形的面積而言，向量（2，2）的第二個坐标與平行四邊形的面積不相關，那麼三角形列式和對角行列式斜線上的數值乘積是等價的。

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