題目

推理：

1、高三 (17) 班有 50 個同學，他們的學号分别是 1, 2, 3, …, 50 。

一次數學考試結束後，同學們都交完試卷離開了考場。

數學老師小 A 清點試卷時發現，他手中隻有 49 張卷子。究竟是誰沒有交卷呢？

正巧小 A 手邊沒有筆，他也不想把所有卷子按照學号重新排序。

他希望不借助任何工具，僅僅通過依次查看每張卷子上寫的學号，便能找出缺失的那個學号。

和常人一樣，小 A 的記憶力很有限，他沒法記住之前到底看到過哪些學号；不過，作為一個數學老師，小 A 擁有無人匹敵的計算能力。

他有辦法找出沒交卷的那位同學的學号嗎？

2、小 A 和小 B 玩遊戲。

從小 A 開始，兩個人輪流從 1 到 9 當中選一個數（已經選過的數不能再選），約定誰先選到三個和為 15 的數，誰就獲勝了。

比方說，小 A 先選了 4 ，然後小 B 選 5 ，小 A 選 6 ，小 B 選 2 。

為了阻止小 B 獲勝，下一步小 A 就必須得選 8 （否則小 B 将靠 5 、 2 、 8 三個數獲勝）。

為了阻止小 A 獲勝，小 B 選擇了 1 （否則小 A 将靠 6 、 8 、 1 三個數獲勝）。

但是，這已經阻止不了小 A 的勝利了——小 A 可以選擇 3 ，從而得到 4 、 8 、 3 三個加起來等于 15 的數。

在這個遊戲中，小 A 有必勝策略嗎？

計算：

3、有一塊長方形的巧克力，它由 m×n 個小塊組成。

你想要把它們全部掰開。每一步，你隻能拾起其中一塊巧克力，沿着直線把它掰成兩塊。

請證明，不管你用什麼樣的策略，把所有小塊全部掰開所需要的步數都是相同的。

4、把一副洗好的牌（共 52 張）背面朝上地摞成一摞，然後依次翻開每一張牌，直到翻出第一張 A 。

下一張牌是黑桃 A 的可能性大還是黑桃 2 的可能性大？

填圖：

5、你能把一個等邊三角形分成三個面積相等但形狀各不相同的小三角形嗎？

6、像示例那樣，在圖中畫出一條封閉的回路。這條路必須既無重複又無遺漏地經過每一個白色方格。

答案

推理：

1、答案：

首先算出 1 到 50 這 50 個數之和，它等于 1275 。然後從 1275 這個數開始，不斷減去看到的學号，最後剩下的數就是缺失的那個學号。

2、答案：

1 到 9 中的三個數之和為 15 一共有 8 種情況：

1 5 9 1 6 8

2 4 9 2 5 8

2 6 7 3 4 8

3 5 7 4 5 6

把 1 到 9 依照上圖填進 3×3 的方陣中，方陣的每一行、每一列和兩條對角線上的三個數之和都是 15 ，它們恰好涵蓋了上述所有 8 種情況。

因此，遊戲的目标即是讓自己選的數在方陣中成一條直線。

也就是說，小 A 和小 B 在玩的其實是井字棋遊戲！

衆所周知井字棋遊戲是沒有必勝策略的，因此在這個遊戲中小 A 也是沒有必勝策略的。

計算：

3、答案：

每掰一次後，巧克力的總塊數都會加一。

要想把一塊巧克力掰成 m×n 小塊，顯然不管怎樣都需要掰 m×n – 1 次。

據說，這個簡單到近乎荒唐的問題，有時竟能困擾數學教授們一整天的時間！

4、答案：

很多人可能會認為，下一張牌是黑桃 2 的可能性更大，因為剛才翻出的首張 A 可能就是黑桃 A 。

其實這種直覺是錯誤的。

令人吃驚的是，下一張牌是黑桃 A 的概率與下一張牌是黑桃 2 的概率一樣大，它們都等于 1/52 。

為了說明這一點，我們不妨來看一種同樣能實現絕對随機的另類洗牌方式：

先把一副牌中的黑桃 A 抽出來，随機洗牌打亂剩下 51 張牌的順序，然後把黑桃 A 插回這摞牌中（包括最頂端和最底端在内，共有 52 個可以插入的位置）。

顯然，黑桃 A 正好插到了這摞牌的首張 A 下面有 1/52 的可能性。

同樣的道理，首張 A 下面是黑桃 2 的概率也是 1/52 。

事實上，任何一張牌都有可能出現在首張 A 的下面，它們出現的概率是相等的，都等于 1/52 。

填圖：

5、答案：可以，如圖。

6、答案：

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