尼羅河

使得圖形成為數學研究對象的真正動力，還是土地測量等生産實踐，幾乎所有涉及數學史的書都要提到古埃及的幾何學，并且都認為幾何學起源于古埃及。幾何學之所以能夠在古埃及得以發展，是與古埃及人的生活條件有關。古埃及地處非洲北部，與非洲的大部分平原一樣，北非也是幹旱荒蕪之地，隻有周期出現的尼羅河泛濫才會給這片土地帶來生機和活力。尼羅河每年6月開始泛濫，洪水大約維持四個月，于是人們在每年10月洪水退去，土地幹涸後開始播種，第二年尼羅河泛濫前收獲完畢。當時洪水泛濫之宏偉是現代人難以想象的，古希臘曆史學家希羅多德（公元前484-前425）曾經到過埃及，他在著作《曆史》中記載：

“尼羅河在泛濫的時候，它不僅泛濫到三角洲上去，而且也泛濫到被認為是屬于利比亞和阿拉伯的那些地方去；它泛濫到離河岸有兩天的路程的地方，有時遠些，有時則近些。

當尼羅河泛濫到地面上來的時候，隻有市鎮才可以被看你到高高的水面之上并且是幹燥的，和愛琴海上的島嶼非常相似。隻有這些市鎮露在水面之上，而埃及的其他地方則完全是一片水。......船隻實際上就是經過金字塔的近旁的......”

尼羅河泛濫對于古埃及人們的生活以及經濟發展影響之重大，甚至政府的稅收政策也與洪水有關。國家規定：根據每年洪水的高度和耕種的土地面積征稅，關于這一點，希羅多德在《曆史》這部書中是這樣記載的：

“如果河水沖毀了一個人分得的土地的任何一部分土地，這個人就可以到國王那裡去把發生的事情報告他，于是國王便派人前來調查并測量損失地段的面積，今後他的租金就要按照減少後的土地面積來征收了。我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了量地法，而希臘人又從那裡學到了它。”

希羅多德是公元前5世紀的人，他關于古希臘人是從埃及那裡學到幾何學的論述應當是有道理的。事實上，現在通用的英文幾何一詞geometry源于古希臘語γεωμετρια，就是土地測量的意思，因為這個詞是由γη（土地）和μετρια（測量）複合而成。也就是說，古希臘人從古埃及人那裡學到了幾何學。

萊茵德紙草書

古埃及人發明幾何學完全是為了實際的需要，他們創造了一套有效的計算土地面積的方法，其中包括三角形，長方形和梯形，還包括圓面積的近似公式，這些被記錄在公元前1700年左右的萊茵德紙草書上。現存的文獻表明，雖然古埃及人并沒有明确給出面積的定義，但是，古埃及人很清楚地知道：面積是對于平面物體大小的度量，他們很可能就是用長乘以寬來度量長方形的面積，并且把這種度量作為最基本的面積度量元素。如果是這樣的話，那麼這種思想是極為重要的，這就是現今大學數學教科書中普遍使用的勒貝格測度的原形。我們之所以可以做這樣的猜測，是因為在萊茵德紙草書上記載，古埃及人用“四邊形兩組對邊之和的一半的乘積”作為這個四邊形的面積，如果令一個四邊形的四條邊依次為a,b,c和d，那麼這個四邊形的面積公式為

((a c)/2)×((b d)/2)

顯然，當這個四邊形為長方形，即a=c和b=d時，面積恰為“長乘以寬”。很多學者認為這個近似公式太粗糙，但是我們應該知道，古埃及人發明這個公式是為了測量耕種用的土地，而耕種用地大多近似為長方形或者直角三角形，并且古埃及人還知道，直角三角形的面積為長方形面積的一半。

最讓人們吃驚的是古埃及人關于體積的計算，雖然古埃及人并沒有給出體積的定義，但是他們清晰地用底面積乘以高來計算體積，萊茵德紙草書上的第41題就是一個求體積的問題：

“有一個圓柱形的倉庫，底部圓面的直徑是9，高是10，求體積”

得到的結論是10×64=640，顯然這是高與底面積的乘積。計算底面積即圓的面積的公式是：

S=（d-d/9）²

其中d為圓的直徑，因為在這個問題中d=9可以得到S=8×8=64。我們知道，圓面積的計算公式為S=πd²/4，令其等于64可以解得π=256/81=3.1605。

莫斯科紙草書上得第14題是一個更為複雜得求體積得問題，原題如下：

“如果有人告訴你，一個截四棱錐體高為6，底邊長為4，頂邊長為2，你就将這個4平方，得到16；又将它加倍，得到8；将2平方，得到4。把16，8，4加起來得到28。你要取6的三分之一，得到2。你要取28的2倍，得到56。看，它是56，你會知道它是對的。”

把其中的解題方法用現代符号表述：設上面的正方形的邊長為a，下底正方形邊長為b，高位h，那麼截四棱錐的體積公式是：

V=(1/3)h(a² ab b²)

把a=2，b=4和h=6代入上面的公式，可以得到V=56。顯然，當a=b時，上面的公式恰為底面積乘以高。計算體積是一件非常困難的事情，在今天，許多計算體積公式的證明需要利用微積分的方法，而在四千多年以前的古埃及人就得到了如此複雜的公式，實在是一件不可思議的事情。

胡夫金字塔

金字塔是人類創造的奇迹，金字塔的建造體現了古埃及人已經掌握了相當精确的幾何學知識。以其中最大的胡夫金字塔為例進行說明，這是一個底為四方形的錐形體，原高146.5米(現高138米)，底邊原長233米(現長227米)。令人吃驚的是，四個底邊長度的誤差僅為1.6厘米，這是底邊長度的1/14000；四個底邊直角的誤差僅為12分，是直角的1/27000。這是一個在今天都很難把握的精度，而胡夫金字塔卻是興建于公元前2760年，距今近五千年。可惜的是，我們已經不知道當年古埃及人是如何進行測量才得到如此精确的結果的，他們很可能利用了直角三角形的邊角關系。

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