m和n均為非零自然數?“對任意給定的大于1的自然數n，必然存在非負整數k＜n，使得自然數n＋k與n－k同為素數”，下面我們就來聊聊關于m和n均為非零自然數?接下來我們就一起去了解一下吧!

m和n均為非零自然數

“對任意給定的大于1的自然數n，必然存在非負整數k＜n，使得自然數n＋k與n－k同為素數！”

這個命題其實就是哥德巴赫猜想，雖然一般并不采取如此的表述方式。

哥德巴赫猜想認為“任意一個大于2的偶數，都能表示成兩個素數之和。”

如果2n是任意給定的大于2的偶數，并且總存在非負整數k使得n＋k與n－k同為素數，于是必有2n＝(n＋k)＋(n－k)。從而哥德巴赫猜想成立。

顯然，如果n＋k是素數，那麼n＋k必不能為不大于√(n＋k)的素數整除；如果n－k是素數且n－k≠1，除非n－k是不大于√(n－k)的素數，否則n－k不能為不大于√(n－k)的素數整除。

我們可以斷言：

如果n＋k與n－k不能為所有不大于√2n的素數整除，并且n－k≠1，那麼n＋k與n－k必同為素數。

設p(x)是一個不大于√2n的素數，再設非負整數d(x)＜p(x)并且有n≡d(x) (mod p(x))，也即p(x)除n的餘數為d(x)。

• 當k≡p(x)－d(x) (mod p(x))時，必有n＋k為p(x)整除，也即n＋k≡0 (mod p(x))；
• 當k≡d(x) (mod p(x))時，必有n－k為p(x)整除，也即n－k≡0 (mod p(x))。

于是：

如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))均不成立時，則n＋k與n－k都不能為任意不大于√2n的素數整除；進一步，如果n－k≠1，則n＋k與n－k必同為素數且n－k＞p(x)。

不妨設p(m)是自然數中的第m個素數，并且p(m)是不大于√2n的最大素數。

因此，如果在0～n－2中，存在一個非負整數k，使得k≡p(x)－d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))對于任意p(x)≤p(m)均不成立，則必有n＋k與n－k同為素數。

在0～n－1這n個數中任取一個數k，數k使得k≡p(x)－d(x) (mod p(x))與k≡d(x) (mod p(x))均不成立的概率是多少呢？不妨記這個概率為P。

我們不難知道：

• 當p(x)=2時，這n個數中有約1/2滿足條件；
• 當p(x)=3時，這n個數中至少有約1/3滿足條件；
• 當p(x)=5時，這n個數中至少有約3/5滿足條件；
• 當p(x)=7時，這n個數中至少有約5/7滿足條件；
• 當p(x)=11時，這n個數中至少有約9/11滿足條件；
• …………
• 當p(x)=p(m) (m＞1)時，這n個數中至少有約(p(m)－2)/p(m)滿足條件。

于是必有：

P＞1/2·1/3·3/5·……·(p(m)－2)/p(m)

＝1/2·∏(p(i)－2)/p(i) (i取2至m)

從而必有：

nP＞n·[1/2·1/3·3/5·……·(p(m)－2)/p(m)]

＞n·1/2·1/p(m)

＞n/2·1/√2n

＝√2n/4

如果n≥32，必有nP＞2，也即在0～n－1這n個數中必有2個以上的自然數k，使得n＋k與n－k不能為任意不大于√2n的素數所整除；也即至少有1個以上的自然數k，使得n＋k與n－k同為素數。

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而1＜n＜32時，命題的成立顯然。

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