立體幾何初步

1.1.1 構成空間幾何體的基本元素柱

1.1.2 棱、棱錐和棱台的結構特征

1.1.3 圓柱、圓錐和圓台的結構特征

1.1.4 投影與直觀圖

1.1.5 三視圖

1.1.6 棱柱、棱錐和棱台的表面積

1.1.7 柱、錐和台的體積

棱柱表面積A=L*H 2*S,體積V=S*H

(L--底面周長,H--柱高,S--底面面積)

三視圖的投影規則是：

主視、俯視 長對正

主視、左視 高平齊

左視、俯視 寬相等

點線面位置關系

公理一：如果一條線上的兩個點在平面上則該線在平面上

公理二：如果兩個平面有一個公共點則它們有一條公共直線且所有的公共點都在這條直線上

公理三：三個不共線的點确定一個平面

推論一：直線及直線外一點确定一個平面

推論二：兩相交直線确定一個平面

推論三：兩平行直線确定一個平面

公理四：和同一條直線平行的直線平行

異面直線定義：不平行也不相交的兩條直線

判定定理：經過平面外一點與平面内一點的直線與平面内不過該店的直線是異面直線。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分别平行，且方向相同，那麼這兩個角相等

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面内的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面内有兩條相交直線都平行于另一個平面，那麼這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面内的兩條相交直線垂直，那麼這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直于一個平面，那麼這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α内的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面内垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理 如果平面内的一條直線垂直于平面的血現在平面内的射影，則這條直線垂直于斜線。

例題

對于四面體ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何證明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何證明BC垂直于AD?

證明：

(1).取BC的中點F,連結AF,DF,則

∵AB=AC,BD=CD，

∴△ABC與△DBC是等腰三角形，

AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD内，

∴BC

(2).設A在面BCD上的射影為O.連結BO,CO,DO.則

∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

而BO在平面ABO内，∴BO⊥CD.

同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有

CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

而AC在平面AOC内，∴BD⊥AC.

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