三角形的三邊關系為:三角形，任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.由于是線段的不等量關系，我們在遇到求邊或周長的範圍以及一些不等量的習題時，就要想到利用這一性質，常見的應用如下:

一.判斷三條線段能否組成三角形(最直接的方法是，若兩條短線段的和大于最長的線段，則此三線段可構成三角形)

1.下列各組數中，不可能成為一個三角形三邊長的是(____)

A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.

2.下列長度的三條線段不能組成三角形的是(____)

A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.

二.求三角形第三邊的長或取值範圍

3.若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足|a²一9| (b一2)²=0，則第三邊長a的取值範圍是______.

4.若一個三角形的兩邊長分别為5和8，則第三邊長可能是(______).

A.14.B.10.C.3.D.2.

5.若三角形的兩邊長分别為3和5，則周長L的取值範圍是(_____).

A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<16

6.一個三角形的兩邊長分别為5㎝和3㎝，第三邊的長是整數，且周長是偶數，則第三邊的長是(_____).

A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.

三.求等腰三角形的邊長及周長

7.已知實數x，y滿足|x一4| (y一8)²=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(____).

A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不對.

8.若等腰三角形的周長為10㎝，其中一邊長為2㎝，則該等腰三角形的底邊長為(_)

A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.

9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長為奇數.

(1)求△ABC的周長;

(2)判斷△ABC的形狀.

解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的長為奇數，∴AC=5，∴△ABC的周長為5 5 2=12.

(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形

四.化簡含絕對值的式子

10.已知a，b，c為三角形的三邊長，化簡:|b c一a| |b一c一a|一|c一a一b|一|a一b c|.

【分析】化簡絕對值，關鍵判斷絕對值裡邊的代數式是正數、負數還是零.是正數或零，去掉絕對值，代數式保持不變;是負數，去掉絕對值後，代數式變為原來的相反數，之後，能合并的再合并同類項.本題通過三角形三邊關系判斷絕對值裡邊代數式的正、負情況.

解:∵a，b，c為三角形的三邊長，∴b c>a，a c>b，a b>c，∴b c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b c>0，∴原式=(b c一a)一(b一c一a) (c一a一b)一(a一b c)=2c一2a.

五.證明線段不等關系

10.如圖，已知P是△ABC内一點，求證:PA PB PC>(AB BC AC)

【分析】AP，BP，CP把△ABC分為三個三角形，每個三角形兩邊和大于第三邊，AP，BP，CP正好各用兩次，也即2PA 2PB 2PC>AB BC AC，也即得證.

證明:在△ABP中，PA PB>AB，在△ACP中，PA PC>AC，在△BPC中，PB PC>BC，∴2(PA PB PC)>AB BC AC，即PA PB PC>(AB BC AC)/2.

11.如圖，P是正方形ABCD的邊DC延長線上的一點，連結PA交BC于點E，求證:AP>AC.

【分析】證明線段不等關系，想到三角形三邊關系，可AC，AP，PC是在一個三角形中，但又引進了PC，那麼就想到把AP折成兩條線段和AC圍成一個三角形，那麼又怎樣把AP分成兩段呢？從圖看∠ECP=90°，想到直角三角形斜邊的中線，如圖

取PE的中點F，連結CF，則PF=CF，這樣成功的把AP段分成AF，PF兩段，CF等量代換PF，在△ACF中利用三邊關系可證.

證明:取PE的中點F，連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.

12.如圖，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分線上的一點.求證:DB DC>AB AC.

【分析】要證DB DC>AB AC，可用三角形三邊關系定理，但必須把BD、DC、AB AC移到一個三角形中，可以從構造AB AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分線的對稱性，将AC，AB移在一條線上，同時能将CD邊進行轉換，如圖，

在BA的延長線AE上截取AN=AC，連接DN則可構造出△DAN≌△DCA，則AC=AN，DC=DN，達到了所要的目的在△BDN中，BD DN(DC)>AN(AB AC).

證明:在BA的延長線AE上截取AN=AC，連接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD DN>BN，∴BD DC>AB AC.

13.如圖，P為△ABC内一點，求證:AB AC>PB PC.

【分析】直接運用圖中的△ABC和△PBC得到的AB AC>BC，PB PC>BC，不能解決問題，為使PB和CP同時出現在大于号右側，則應構造新的三角形，可延長BP交AC于點D，或過點P作一直線.

證明:(一)如圖，延長BP交AC于點D，

在△ABD中，AB AD>BD，即AB AD>BP PD，在△CDP中CD PD>PC，∴AB AD CD PD>BP PD PC，∴AB AD CD>BP PC，即AB AC>BP PC.

證明:(二)如圖，過點P任作一直線交AB于E交AC于F

在△AEF中，AE AF>EP PF，在△BEP中，BE EP>PB，在△PFC中，FC PF>PC，∴(AE BE)十(AF FC)十EP PF>PB PC EP PF，∴AB AC>PB PC.

六.利用三角形三邊關系求最值

13.如圖∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分别在OM，ON上，當點B在邊ON上運動時，點A随之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，在運動過程中，點D到點O的最大距離是多少？

【分析】動點問題，總的方法是，以靜制動，取AB的中點H，OH=AB/2不變，由勾股定理得AD² AH²=DH²，∴DH=√2，也不變，在△DOH中，OH在變，有OH DH≥DO，則點D、H、O三點共線時取等号，所以點D到點O的最大距離為OH DH=√2 1，如圖.

前八題答案如下:

1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.

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