multivariable calculus 多元微積分是麻省理工一門著名公開課，課号為18.02。這門課覆蓋了微分，積分，向量的多元微積分，在物理學，工程學，計算機學，經濟學等領域有着廣泛的應用。五分鐘MIT公開課将公開課的重要有趣的知識點進行總結，在短時間内可以掌握一門課程的核心知識。

向量是一個既有大小又有方向的量。With both direction and magnitude/length。通過帶箭頭的直線将向量直觀的表示出來。引入空間直角坐标系和單位向量是向量間計算的基礎。

Pythagorean theory： 畢達哥拉斯定理，勾股定理

向量的長度：通過勾股定理，向量兩邊加絕對值符号 |a|

向量的加法：

向量是頭尾加法，同一方向可以進行标量加法。

兩個向量點乘，結果是标量。幾何的角度考慮可以計算兩個向量的夾角，以及在某一方向上的投影。

定義：

點積的幾何意義：向量在同一方向上投影的積

證明：

根據餘弦定理：

得到：

• 計算長度和角度

  計算向量的角度的時候，先算出來的是cos，有趣的是cos的符号

  sign>0，銳角

  sign<0，鈍角

  sign=0，直角

• 檢測正交

  x 2y 3z=0的點集是什麼形狀? 平面

• 計算向量的分量，例如計算懸挂擺，分解力

如何計算幾個向量圍成的面積?三角形的面積怎麼計算？

奇妙的是，這和底乘高的得到結果一樣。再算出餘弦，帶入，會很麻煩。

下面的内容會非常有趣：

考慮兩個相差90度的向量a和a'

發現行列式代數上是餘向量的點積，幾何上行列式的絕對值是向量所圍成的面積。

Area=abs value of det.

空間行列式

高維行列式計算方法，擴展：奇正偶負。正負是因為改變了空間的方向。

幾何學上，三維行列式就是長方體體積的加減。

Cross product 叉乘

考慮三維空間的兩個向量

定義：

叉乘的結果是個向量。

• 叉乘的大小等于兩向量圍成平行四邊形的面積

• 叉乘的方向垂直與兩向量所在平面

• 垂直向量的判斷方式為右手法則

  右手指向向量A的方向

  手指指向向量B的方向

  豎起大拇指，拇指方向為叉乘方向

例子：

關于空間體積的一些觀點

補充

Equation of planes 平面的方程

這一節主要講的是叉乘的應用。

如何已知三點構成的平面，和另外一個點P，如何确定點P在這個平面上。

一個方法是：

帶入 P(x,y,z)

就得到平面的方程。

另一個方法：如果P在平面上則可以推出

向量n是平面的法向量（normal vector）。

最後得到了一個我們很熟悉的公式，也是計算體積的公式：

這個形式在向量計算中有個别名，叫做三重積（Triple product），和行列式是一回事。

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