有的學生感到。老師講過的，自己已經聽得明明白白了。但是，為什麼自己一做題就困難重重了呢？其原因在于，學生對教師所講的内容的理解，還沒能達到教師所要求的層次。因此，每天在做作業之前，一定要把課本的有關内容和當天的課堂筆記先看一看。能否堅持如此，常常是好學生與差學生的最大區别。尤其練習題不太配套時，作業中往往沒有老師剛剛講過的題目類型，因此不能對比消化。如果自己又不注意對此落實，天長日久，就會造成極大損失。

做題之後加強反思。學生一定要明确，現在正坐着的題，一定不是考試的題目。而是要運用現在正做着的題目的解題思路與方法。因此，要把自己做過的每道題加以反思。總結一下自己的收獲。要總結出，這是一道什麼内容的題，用的是什麼方法。做到知識成片，問題成串，日久天長，構建起一個内容與方法的科學的網絡系統。

配合老師主動學習。高中學生學習主動性要強。小學生，常常是完成作業就盡情的歡樂。初中生基本也是如此，聽話的孩子就能學習好。高中則不然，作業雖多，但是隻知道做作業就絕對不夠；老師的話也不少，但是誰該幹些什麼了，老師并不一一具體指明，因此，高中學生必須提高自己的學習主動性。準備向将來的大學生的學習方法過渡。

必修一

第一章：集合與函數概念

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的确定性如：世界上的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：XKb1.Com

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集：N*或N

整數集：Z

有理數集：Q

實數集：R

1)列舉法：{a,b,c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能

(1)A是B的一部分，;

(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實

例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：

①任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那麼AíC

④如果AíB同時BíA那麼A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個數：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

三、集合的運算

運算類型交集并集補集

定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

第二章：基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數幂的運算

1.根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.

當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，這裡叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand).

當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符号表示，負的次方根用符号-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

注意：當是奇數時，當是偶數時，

2.分數指數幂

正數的分數指數幂的意義，規定：

0的正分數指數幂等于0，0的負分數指數幂沒有意義

指出：規定了分數指數幂的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數幂的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幂.

3.實數指數幂的運算性質

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

第三章：第三章函數的應用

1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐标。即：

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法：

求函數的零點：

(1)(代數法)求方程的實數根;

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以将它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數.

1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

必修二

一、立體幾何初步

1、柱、錐、台、球的結構特征

(1)棱柱：

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.

(2)棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.

(3)棱台：

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形.

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形.

(6)圓台：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉軸,旋轉一周所成

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形.

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸,半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑.

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向後面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體的長度和寬度;側視圖反映了物體的高度和寬度.

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半.

4、柱體、錐體、台體的表面積與體積

①幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和.

②特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高,為斜高,l為母線

③柱體、錐體、台體的體積公式

二、直線與方程

1、直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特别地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°

2、直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即.斜率反映直線與軸的傾斜程度.

當時,;當時,;當時,不存在.

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：

(1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;

(2)k與P1、P2的順序無關;

(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐标直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐标先求斜率得到.

3、直線方程

①點斜式：直線斜率k,且過點

注意：當直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1.

當直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.

②斜截式：,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b

③兩點式：()直線兩點,

④截矩式：

其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分别為.

⑤一般式：(A,B不全為0)

4、平行于x軸的直線：(b為常數);平行于y軸的直線：(a為常數);

5、直線系方程：即具有某一共同性質的直線

(一)平行直線系

平行于已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)

(二)垂直直線系

垂直于已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)

(三)過定點的直線系

(ⅰ)斜率為k的直線系：,直線過定點;

(ⅱ)過兩條直線,的交點的直線系方程為

(為參數),其中直線不在直線系中.

6、兩直線平行與垂直

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.

7、兩條直線的交點相交交點坐标即方程組的一組解.方程組無解;方程組有無數解與重合

(8)兩點間距離公式：設是平面直角坐标系中的兩個點

(9)點到直線距離公式：一點到直線的距離

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點,再轉化為點到直線的距離進行求解.

三、圓的方程

1、圓的定義：平面内到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.

2、圓的方程

(1)标準方程,圓心,半徑為r;

(2)一般方程

當時,方程表示圓,此時圓心為,半徑為

當時,表示一個點;當時,方程不表示任何圖形.

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數法：先設後求.确定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的标準方程,

需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點,以此來确定圓心的位置.

3、高中數學必修二知識點總結：直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離,相切,相交三種情況：

(1)設直線,圓,圓心到l的距離為,則有;;

(2)過圓外一點的切線：①k不存在,驗證是否成立②k存在,設點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2 (y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a) (y0-b)(y-b)=r2

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來确定.

設圓,

兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來确定.

當時兩圓外離,此時有公切線四條;

當時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,内公切線一條;

當時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;

當時,兩圓内切,連心線經過切點,隻有一條公切線;

當時,兩圓内含;當時,為同心圓.

注意：已知圓上兩點,圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點共線

5、空間點、直線、平面的位置關系

公理1：如果一條直線的兩點在一個平面内,那麼這條直線是所有的點都在這個平面内.

應用：判斷直線是否在平面内

用符号語言表示公理1：

公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那麼它們有且隻有一條過該點的公共直線

符号：平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a.

符号語言：

公理2的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法.

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點.

③它可以判斷點在直線上,即證若幹個點共線的重要依據.

公理3：經過不在同一條直線上的三點,有且隻有一個平面.

推論：一直線和直線外一點确定一平面;兩相交直線确定一平面;兩平行直線确定一平面.

公理3及其推論作用：①它是空間内确定平面的依據②它是證明平面重合的依據

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

四、空間直線與直線之間的位置關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面内的兩條直線

②異面直線性質：既不平行,又不相交.

③異面直線判定：過平面外一點與平面内一點的直線與平面内不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線所成角的範圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.

求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上.B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分别平行,那麼這兩角相等或互補.

(8)空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面内——有無數個公共點.

三種位置關系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α

(9)平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點;α‖β

相交——有一條公共直線.α∩β=b

2、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面内一條直線平行,則該直線與此平面平行.

線線平行線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,

那麼這條直線和交線平行.線面平行線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質

兩個平面平行的判定定理

1)如果一個平面内的兩條相交直線都平行于另一個平面,那麼這兩個平面平行

(線面平行→面面平行),

(2)如果在兩個平面内,各有兩組相交直線對應平行,那麼這兩個平面平行.

(線線平行→面面平行),

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,

兩個平面平行的性質定理

(1)如果兩個平面平行,那麼某一個平面内的直線與另一個平面平行.(面面平行→線面平行)

(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那麼它們的交線平行.(面面平行→線線平行)

3、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.

②線面垂直：如果一條直線和一個平面内的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直.

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直.

(2)垂直關系的判定和性質定理

①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面内的兩條相交直線都垂直,那麼這條直線垂直這個平面.

性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行.

②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那麼這兩個平面互相垂直.

性質定理：如果兩個平面互相垂直,那麼在一個平面内垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.

4、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規定為.

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O,分别作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規定為.②平面的垂線與平面所成的角：規定為.

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面内的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作,二證,三計算”.在“作角”時依定義關鍵作射影,由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線,在解題時,注意挖掘題設中兩個主要信息：(1)斜線上一點到面的垂線;(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質易得垂線.

（3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面内分别作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那麼這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那麼所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關點,過這個點分别在兩個面内作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角内一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

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