在高考數學曆史上，有這樣一個記錄，全國平均分隻有26分。盡管當時滿分是120分，但是就算換算成150分滿分的試卷，平均分也隻有32.5分。這就是1984年全國卷的數學考試題。

那麼這一年的試卷究竟有多神奇，為什麼全國平均分如此之低？看了選擇和填空部分（那時候不叫填空，不過隻要求寫出答案，和我們現在的填空題類似），你就明白了。

當時的選擇題數量不像現在全國卷選擇題那麼多，隻有5道選擇題，但是每一道選擇題都不是那麼簡單，要想從選擇題部分輕易得到分數，那隻能是異想天開。

1-3題，第1題，考察我們集合的知識點，要判斷X與Y的關系，首先得搞清楚X與Y内的元素都有哪些。我們可以對n和k取幾個常見的值，然後得出一些元素，然後對比X、Y中的元素關系，最終就能得出結論。

第2題考察的是圓的一般方程。如果大家記得一般方程對應的圓心坐标和半徑的表達式的話，這道題會更節約時間一些。如果實在記不住的話就得進行配方了。題幹中提到圓與x軸相切于原點，那麼就說明圓心肯定在y軸上，利用這個信息，就能判斷出G、E、F是否等于0，從而選出答案。

第3題，給出的是一個比較複雜的表達式。我們首先要做的便是将表達式進行化簡。由于表達式中含有（-1）^n，所以我們需要針對n是奇數還是偶數進行讨論，如果n是偶數，那麼表達式的結果就是0，而如果n是奇數，那麼（-1）^n就等于-1。簡化以後就會遇到第二個問題，就是如何判斷結果的奇偶性。此時可以将（n^2-1）分解為（n 1）（n-1）的形式，從而進行判斷。具體細節可以看我的解答，這兒就不再贅述了。

4-5題，第四題考察我們反三角函數的知識。對于絕大多數考生而言，反三角函數都是比較薄弱的環節，因為考試中出現的頻率不高，所以就沒怎麼引起重視。首先要搞清楚每一種反三角函數的定義域和值域，以及他們之間的對應關系，在這基礎上再進行這道題的解答就容易多了。反之，如果這些基礎知識你都忘了，那麼隻有蒙一個聽天由命了。

第5題，已知θ是第二象限的角，我們能夠很快得出θ/2在第一象限或者第三象限。然後結合題中給出的表達式，便能判斷出cosθ/2>sinθ/2，那麼θ/2就隻能在第三象限了。

通過這5道選擇題，可以發現，當時的選擇題沒有明顯的送分題，每個題想要得分都得經過一些思考。再加上當時的教學環境和時代背景，所以全國平均分低也是能夠理解。

填空題1-3題，第1題在解答時，要考慮兩種情況。這種陷阱在我們日常考試中也會出現，看似很簡單的題，卻因為自己的一時疏忽沒有考慮全面，最後一分不得。

第2題，主要考察複合函數。首先最外側的對數函數在定義域内單調遞減，要想整體單調遞增，那麼真數部分就得單調遞減。所以我們隻需要去尋找這部分的遞減區間就可以了。不過這兒有一個細節，因為真數部分必須大于0，所以，x是不能等于-2的。估計不少學子會栽在這個坑裡。

第3題，三角函數知識的考察，難度不大，主要是二倍角公式的考察，在這兒也得提醒大家，一個數字對應的角度可不僅僅是一種哦。

4-6題，首先第4題，我自己在做的時候采取了最笨也是最實在的方法，就是把他們展開，因為次數隻有3次，計算量也還能接受。最終合并同類項找出常數項即可。

第5題考察極限的知識，重點是對表達式進行變形，利用當n趨近于無窮時，小于1的分數的n次幂等于0這個性質來得出最終結論。其實，這個極限知識，大學高等數學也經常用到。

第6題，簡單的排列組合題型，利用插空法就能快速得出答案。

總的來說，1984年的高考數學試題，如果從現在的角度去看可能不算是特别難。但是也算不上容易。由于當時剛恢複高考沒幾年，各方面改革的因素，外加上教育條件有限，所學習的知識也不盡全面，所以這套題對于當時那一代人而言确實算是比較難的。所以最終全國平均分隻有26分也是能夠理解。

不知道大家看了這套創曆史的高考數學題後，有什麼感想呢？

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