期中考試已經臨近，這也是對開學至今學習的一次重要的檢驗，初二數學中，三角形章節不僅是考試的重點，也是後面學習全等三角形，甚至以後學習勾股定理，相似三角形等知識的基礎，因此本章的内容都要學會搞懂，而期中考試臨近，為了能夠幫助同學們順利的複習，總結了三角形章節的重難點，通過題型詳解，希望同學們能夠在期中考試中考出好的成績。

1 三角形的穩定性

【方法點撥】理解穩定性：“隻要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全确定，三角形的這種性質叫做“三角形的穩定性”.這就是說，三角形的穩定性不是“拉得動、拉不動”的問題，其實質應是“三角形邊長确定，其形狀和大小就确定了”.

1将幾根木條用釘子釘成如圖的模型，其中在同一平面内不具有穩定性的是（ ）

本題就是根據三角形具有穩定性進行解答，根據三角形具有穩定性可得A、B、D都具有穩定性，C未曾構成三角形，因此不穩定，故選：C．

2三角形邊角關系的應用

【方法點撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關鍵，同學們也要掌握|a-b|<x<a b,确定第三邊x的取值範圍。

1、a，b，c為△ABC的三邊，化簡|a b c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b c|﹣|a b﹣c|，結果是（ ）

A．0 B．2a 2b 2c C．4a D．2b﹣2c

【解析】首先根據：三角形兩邊之和大于第三邊，去掉絕對值号，然後根據整式的加減法的運算方法，求出結果是多少即可．因此|a b c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b c|﹣|a b﹣c|＝（a b c）﹣（b c﹣a）﹣（a﹣b c）﹣（a b﹣c）＝a b c﹣b﹣c a﹣a b﹣c﹣a﹣b c＝0。故選：A．此題主要考查了三角形的三邊的關系，以及整式加減法的運算方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明确：三角形兩邊之和大于第三邊．

2、已知一個三角形中兩條邊的長分别是a、b，且a＞b，那麼這個三角形的周長L的取值範圍是（ ）

A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a b）

C．a 2b＜L＜2a b D．3a﹣b＜L＜3a b

【解析】先根據三角形的三邊關系求得第三邊的取值範圍，再确定這個三角形的周長l的取值範圍即可．設第三邊長x．根據三角形的三邊關系，得a﹣b＜x＜a b．∴這個三角形的周長L的取值範圍是a﹣b a b＜L＜a b a b，即2a＜L＜2a 2b．故選：B．本題考查三角形的三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

3多邊形的相關概念

【方法點撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對角線與所分成三角形個數之間的關系：從n(n≥3)邊形的一個頂點可以作出(n-3)條對角線.将多邊形分成(n-2)個三角形.

1、下列選項中的圖形，不是凸多邊形的是（ ）

【解析】根據凸多邊形的概念，如果多邊形的邊都在任何一條邊所在的直線的同旁，該多邊形即是凸多邊形．否則即是凹多邊形．圖形不是凸多邊形的是A．故選：A．本題主要考查了凸多邊形的定義，正确理解凸多邊形的定義是解決此類問題的關鍵．

2、從一個七邊形的某個頂點出發，分别連接這個點與其餘各頂點，可以把一個七邊形分割成（ ）個三角形．

A．6 B．5 C．8 D．7

【解析】從n邊形的一個頂點出發，連接這個點與其餘各頂點，可以把一個四邊形分割成（n﹣2）個三角形。從一個七邊形的某個頂點出發，分别連接這個點與其餘各頂點，可以把一個七邊形分割成7﹣2＝5個三角形，故選：B。本題考查的知識點為：從n邊形的一個頂點出發，可把n邊形分成（n﹣2）個三角形。

3、一個多邊形截去一角後，變成一個八邊形則這個多邊形原來的邊數是（ ）

A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10

【解析】根據截去一個角後邊數增加1，不變，減少1讨論得解．∵截去一個角後邊數可以增加1，不變，減少1，∴原多邊形的邊數是7或8或9．故選：C。本題考查了多邊形，關鍵是理解多邊形截去一個角後邊數有增加1，不變，減少1三種情況．

4多邊形内角和與外角和的應用

【方法點撥】（1）掌握多邊形内角和計算公式：(n-2) × 180 °(n ≥3的整數），多邊形的外角和等于360°，特别注意，多邊形的外角和與邊數無關。

1.一個多邊形的每個内角都相等，并且它的一個外角與一個内角的比為1：3，則這個多邊形為（ ）

A．三角形 B．四邊形 C．六邊形 D．八邊形

【解析】此題要結合多邊形的内角與外角的關系來尋求等量關系，構建方程求出每個外角．多邊形外角和是固定的360°．設這個多邊形的邊數為n，依題意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴這個多邊形為八邊形，故選：D．此題考查多邊形的内角與外角的關系、方程的思想．關鍵是記住多邊形一個内角與外角互補和外角和的特征．

2.如圖，在六邊形ABCDEF中，∠A ∠B ∠E ∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，則∠P的度數是（ ）

A．1/2α﹣180°,B．180°﹣1/2α,C．1/2α,D．360°﹣1/2α

【解析】由多邊形内角和定理求出∠A ∠B ∠E ∠F ∠CDE ∠BCD＝720°①，由角平分線定義得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根據三角形内角和定理得出∠P ∠PCD ∠PDE＝180°，得出2∠P ∠BCD ∠CDE＝360°②，由和②即可求出結果．在六邊形ABCDEF中，∠A ∠B ∠E ∠F ∠CDE ∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P ∠PCD ∠PDE＝180°，∴2（∠P ∠PCD ∠PDE）＝360°，即2∠P ∠BCD ∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A ∠B ∠E ∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝1/2α﹣180°；故選：A．本題考查了多邊形内角和定理、角平分線定義以及三角形内角和定理；熟記多邊形内角和定理和三角形内角和定理是解題關鍵．

5三角形内角和定理的應用

1.如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延長線于點D．

（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度數；

（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，試用含α、β的式子表示∠EAD，則∠EAD＝．（直接寫出結論即可）

【解析】（1）根據垂直的定義得到∠D＝90°，根據鄰補角的定義得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根據三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根據角平分線的定義得到∠CAE＝1/2∠BAC＝25°，于是得到結論；（2）根據垂直的定義得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根據角平分線的定義得到∠CAE＝1/2∠BAC＝90°﹣1/2（α β），根據角的和差即可得到結論．本題考查了三角形的内角和，角平分線的定義，正确的識别圖形是解題的關鍵．

6三角形外角性質的應用

1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數．

【解析】1）根據三角形的外角的性質求出∠CBD，根據角平分線的定義計算，得到答案；（2）根據平行線的性質解答即可．（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝1/2∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．本題考查的是三角形的外角的性質、平行線的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和是解題的關鍵．

2.如圖，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度數．

【解析】 根據三角形外角性質得到∠FDE＝∠BAD ∠ABD，而∠BAD＝∠CBE，則∠FDE＝∠BAD ∠CBE＝∠ABC＝64°；同理可得∠DEF＝∠ACB＝43°，然後根據三角形内角定理計算∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝48°，∠DEF＝64°，∵∠FDE＝∠BAD ∠ABD，∠BAD＝∠CBE，∴∠FDE＝∠BAD ∠CBE＝∠ABC，∴∠ABC＝64°； 同理∠DEF＝∠FCB ∠CBE＝∠FCB ∠ACF＝∠ACB，∴∠ACB＝43°；∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣64°﹣43°＝73°，∴△ABC各内角的度數分别為64°、43°、73°．本題考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和為180°．也考查了三角形外角的性質，熟記：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個内角之和是解題的關鍵．

7 利用互餘關系倒角

【方法點撥】直角三角形兩銳角互餘，通常利用這一結論進行倒角.

1.如圖，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求證：∠CEF＝∠CFE．

【解析】（1）由于∠ACD與∠B都是∠BCD的餘角，根據同角的餘角相等即可得證；（2）根據直角三角形兩銳角互餘得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根據角平分線的定義得出∠CAF＝∠DAE，然後由對頂角相等的性質，等量代換即可證明∠CEF＝∠CFE．證明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD ∠BCD＝90°，∠B ∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；

（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．本題考查了直角三角形的性質，三角形角平分線的定義，對頂角的性質，餘角的性質，難度适中．

2.如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高線，BE是一條角平分線，它們相交于點P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度數．

【解析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角的和求出∠CBE的度數，再根據角平分線的定義求出∠ABC的度數，然後利用直角三角形的兩銳角互餘列式計算即可得解．解：∵AD是BC邊上的高線，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，∵BE是一條角平分線，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．故答案為：20°．本題考查了直角三角形兩銳角互餘的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角的和的性質，角平分線的定義，準确識圖，根據圖形找出圖中各角之間的關系是解題的關鍵．

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