問題由來：

　　中國古代《孫子算經》共三卷，成書大約在公元5世紀。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術題，比如“雞兔同籠”問題：

　　今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

　　"雞兔同籠"是中國古代著名的數學題，在人教版四年級數學中是的一個學習重點，許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法--"假設法"來求解。

　　在小學奧數的一些書籍中，給出了"雞兔同籠"問題的公式，應對不同的情況使用不同公式來解決，這些公式也是根據方程推出來的，小學六年級學生可以重溫這個知識點，真正梳理一下這裡的解題思路，清楚這些公式的來龍去脈，以便我們後面更好地學習其他應用題。

　　例題：雞兔在一個籠子裡，從上面數有35個頭，從下面數有94隻腳。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　【一題多解】

　　★ 第一種思考：

　　用假設法：

　　①　假設籠子裡全部是雞，就是兔子變成了雞，那麼籠子裡就有35隻雞，對應的就是2×35=70隻腳。

　　現在籠子裡總共有94隻腳，

　　多了94 - 70 = 24隻腳，

　　為什麼會多24隻腳呢？

　　因為籠子裡不可能全部是雞，肯定是有兔子，因為一隻兔子比一隻雞多兩隻腳。

　　現在放進去一隻兔子，拿出一隻雞，那麼籠子裡就會在70隻腳的基礎上多2隻腳。

　　現在籠子裡多了24隻腳，意思就是放入24÷2=12隻兔子。

　　雞數：35 - 12 = 23（隻）

　　上面是通過假設籠子裡全部是雞，再通過腳數的變化來解題的，如果假設籠子裡全部是兔子行不行呢？可以的，仍然用假設法，道理也是一樣的。

　　②　假設籠子裡全部是兔子，就是籠子裡的雞都變成兔子，那麼籠子裡就有35隻兔子，對應的就是4×35=140隻腳。

　　現在籠子裡總共有94隻腳，

　　差了140 - 94 = 46隻腳，

　　為什麼差46隻腳呢？

　　一隻雞變成兔子，就差了4 - 2 = 2隻腳，

　　差46隻腳，意思就是46 ÷ 2 = 23隻雞變成了兔子，

　　兔子數：35 - 23 = 12（隻）

　　★ 第二種思考：

　　上面的兩種思考方法是可以理解為先從上面看，即先确定頭數，然後根據下面的腳數來調整雞和兔的數量，直到達到正确合理的值，同時滿足兩個條件：從上面看頭數為35，從下面看腳數為94，從而求出實際的值。

　　先從下面的腳數來思考也是一樣的。

　　③　比如，下面總共有94隻腳，我們假設全部是雞，每隻雞有2隻腳，那麼應該就有94÷2=47隻雞，可是實際上總共最多也就35隻雞（題目條件：從上面看總共35頭）。

　　那麼，可以來置換，在保證腳數不變的情況下，減少頭數。

　　注意：換的目的就是要保證從下面看腳數是94，從上面看頭數是35。

　　開始換，怎麼換呢？

　　一隻兔子4隻腳，相當于2隻雞的腳數。

　　也就是說，每次拿出2隻雞，換進去1隻兔子，可以保證腳數是不變的，是94，而從上面看，頭數就減少了1隻。

　　要換多少隻雞呢？

　　要拿走（47 - 35）×2 = 24隻雞，換進去24÷2=12隻兔子。

　　這樣，從上面看就是35頭，從下面看是94隻腳。

　　（

　　假如上面不好理解的話，用方程就清楚多了。

　　假設要換走K隻雞，那麼沒有換走的雞加上換進來的兔子的總數就是35，也就是

　　47 - K K÷2 = 35

　　K = 24，也就是換進來12隻兔子了。

　　）

　　好了，我們這裡是先從腳數為94然後再假設全部是雞來思考的，如果假設全部是兔子行不行呢？94÷4是除不盡的，怎麼思考呢？

　　★ 第三種思考：

　　基于同樣的運算，但邏輯不同。

　　④　比如，按腳法。

　　從上面看35頭，對應的如果是雞，應該是35×2=70隻腳，現在還差94-70=24隻腳。

　　那麼就應該把24隻腳按到雞上，每隻雞按2隻的話雞就變成了兔子。

　　按24÷2=12隻，所以有12隻雞變成了兔子，雞數：35-12=23（隻）。

　　⑤　再比如：擡腳法。

　　從上面看35頭，裡面混着雞和兔子，每隻都擡2隻腳，那麼地上就站了94-35÷=24隻腳，這些腳沒有雞了，因為每隻雞都隻有兩隻腳，隻剩下兔子的腳了，有多少隻呢？

　　24÷2=12（隻），雞數：35-12=23（隻）。

　　上面的幾種思考主要應用的算術思維來做的，下面我們看看方程的解法。

　　★ 第四種思考：

　　⑥　假如我們設雞數為K，那麼

　　從上面看，兔子的頭數應該是35 - K。

　　從下面看，兔子的頭數應該是（94 - 2×K）÷4

　　這兩個數字應該是相等的，也就是

　　35 - K = （94 - 2×K）÷4

　　解得 K=23

　　雞數為23，兔數為35 - K =12

　　在《方程①》專輯裡，我們說過，二元一次方程組，都可以劃歸為一元一次方程。

　　所以，這裡設置兩個未知數也是可以的。

　　假設雞數為X，兔數為Y。

　　從上面看，頭數為35，也就是

　　X Y=35

　　從下面看，腳數為94，也就是

　　2X 4Y=94

　　然後解這樣和上面的本質是一樣的。

　　最開始的時候我們講過表格法，還有其他的解法，這裡就不再一一列舉。

　　很多人對擡腳法津津樂道甚至謂之神奇：

　　你知道嗎？【擡腳法】應用的也是方程法，我們來分析：

　　“讓雞和兔子同時擡兩條腿”， ①×2 ==> 2×X 2×Y=2×35=70

　　“籠子裡剩餘94-35×2=24條腿”， ② - ① ==> 2×Y=95-70=24

　　“這些腿是兔子的，每隻兔子剩餘2條腿，那麼就有12隻兔子” ==> Y=24÷2=12

　　還會覺得【擡腳法】神奇嗎？！

　　在你領悟到這些後，無論試題怎麼變化，甚至其他類似的題目，你都可以用“【擡腳法】”來展示“神奇”，當然也不一定擡腳了，可能是其他的動作，但你對更明白其中的道理，因為知道根（原理）在方程上。

　　下面我們看看雞兔同籠問題的變化題型。

　　【一題多變】

　　變化題1：條件變化①

　　雞兔在一個籠子裡，從上面數有35個頭，兔子的腳數比雞的腳數多2隻。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　變化題2：條件變化②

　　雞兔在一個籠子裡，雞頭比兔子頭多11個，從下面數有94隻腳。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　變化題3：多種動物問題

　　例題：有雞、兔、鴨三種動物共42隻，共有腿108條，其中雞比兔子多11頭，問鴨多少隻?

　　變化題4：數錢币問題

　　例題：已知2元和5元的紙币共18張，總共69元，問2元紙币和5元紙币各多少張?

　　變化題5：種樹問題

　　例題：五小的師生共35人植樹，已知學生每人種樹2顆，老師每人種樹4顆，師生共植樹94顆，問老師和學生各多少人?

　　變化題6：買水果問題

　　例題：小明去買蘋果和梨子，第一次買了一斤蘋果和一斤梨子花了35元，第二次買了2斤蘋果和4斤梨子花了94元，問蘋果和梨子各多少錢一斤?

　　變化題7：行程問題

　　例題：小明和小宋分别騎自行車從相距94公裡的兩地相向而行，他們兩個的速度和是35公裡/小時，在他們相遇時小明騎了2個小時，小宋騎了4個小時，問小明和小宋的速度各是多少公裡/小時?

　　變化題8：乘船分配問題

　　例題：五小老師帶學生共94人去劃船，已知小船每船坐2人，大船每船坐4人，大船和小船共35隻，問大船和小船各多少隻?

　　變化題9：比賽問題

　　例題：體育館共94人進行乒乓球比賽，問單打和雙打的球台各多少張?

　　變化題10：面積問題

　　例題：已知長方形ABCD和長方形DEGH的面積之和為94，AD DE=35，AB=2，GE=4，求AD和DE的長。　　

　　還可以變化出其他的一些應用題，看生活中遇到的的具體問題，比如住宿問題（2人間、4人間）、運輸問題（小車運2噸，大車運4噸）、三輪車與汽車的個數等等，看你的思考了。

　　【多題一解】

　　變換題型4～10都基于下面的方程組：

　　X Y=35

　　2X 4Y=94

　　也就是說，變換題型44～10的解法完全一樣。

　　由此可以理解，基于相同的數學模型，當然解法是一樣的了。

　　進一步說，基于相似的數學模型，解法也是相似的。

　　明白了這一點，逆向思維一下，嘗試着根據下面的方程組來出應用題：

　　第一組方程：

　　2X 3Y=31

　　5X 7Y=75

　　第二組方程：

　　2X 3Y=31

　　5X-7Y=5

　　最後，我們稍微深入思考一下，為什麼用方程來解可以變換出那麼多的解法和題型？

　　【競賽真題】

　　1、有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18隻，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀），問蜻蜓多少隻?

　　（北京市“迎春杯”競賽試題）

　　2、圍棋24元一副，象棋18元一副，用300元恰好可以購買兩種棋共14副，其中象棋多少副？

　　（2015年希望杯數學競賽四年級第2試）

　　3、一隊獵手一隊狗，兩隊并着一起走，數頭一共一百六，數腳一共三百九，則有多少名獵手和多少隻狗？

　　（2007年希望杯數學競賽四年級第1試）

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!