來源：數學方法論選講

作者：徐利治

一、悖論的定義

所謂悖論，從字面上講就是荒謬的理論。那麼，為什麼要把悖論這樣一個晦澀古怪的名詞來取代這一通俗易懂的說法呢？按照美國柯朗數學研究所M. Kline教授的說法，那是為了不把自相矛盾的真相擺在桌面上，才采用了這樣一個婉轉的措辭。當然，M. Kline教授是針對Paradox才這樣說的，并不是針對“悖論”所說，因此，我們在這裡不是直接引用而是引而套用了M. Kline的說法。當然，現在時間一長，悖論這一詞彙也用習慣了，其真實涵義也就人人皆知了。

關于悖論的定義，當前流行的說法，如悖論是一種導緻邏輯矛盾的命題。這種命題，如果承認它是真的，那麼它又是假的；如果承認它是假的，那麼它又是真的。又如悖論是指這樣一個命題A，由A出發，可以找到一語句B，然後，若假定B真，就可推得¬B真，亦即可推出B假。若假定¬B真，即B假，又可推導出B真。再有如一個命題構成一個悖論，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真。諸如此類的定義法，有它合理的一面，但有不夠全面的地方。第一，任何一個悖論在實質上都相對地被包含在某個理論體系中，例如，著名的羅素悖論是一個被包含在古典集合論系統中的悖論。可能有的悖論看上去似乎不像針對那一個理論體系，其實隻是這個悖論所屬系統的原始概念和基本原則沒有明朗化。所以，一個悖論總是相對于某個理論系統而言的。如果竟有這樣一個悖論，它将被包含在曆史的和将來的任何一個理論體系中，那麼，我們就既不要去硏究什麼悖論的成因，也不必去考慮排除悖論的方法，因為既有這種絕對的悖論出現，那麼研究它也無濟于事。當然，我們也不相信會有這種悖論出現。由此可見，當我們給悖論下定義的時候，如果忘記 了相對于某一理論體系這個前提，将會造成怎樣的誤解。第二，并非每個悖論都要陳述為一個命題或某一語句的形式，有的悖論往往要有一個推演過程來表現。第三，從一些著名的悖論的陳述形式來看，人們并不習慣于要求把每個悖論都化歸為肯定等價于否定的形式，也可用某一系統中并存的兩個互相矛盾的命題來表述一個悖論。例如，古典集合論中的

并沒有也不必要化歸為兩個矛盾命題的等價式。綜上所述，我們認為孤立地用肯定等價于否定來作為悖論的定義是不夠合理而全面的。

所以，我們主張采用A.A.Fraenkel與Y.Bar-Hillel的說法，如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個複合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式。那麼，我們就說這個理論包含了一個悖論。我們認為，這樣來定義悖論較為全面而合理，因為在這裡，首先指明了任何一個悖論總是相對于某一理論系統而言的。其次又指出了一個悖論可以表現為某一理論系統中兩個互相矛盾的命題的形式。最後才指出，悖論也可集中地表現為肯定等價于否定的複合命題。這拝看來，當前流行的那種定義法，就隻是抽取了Fraenkel陳述中的最後兩句話作為悖論的定義，這當然是不夠全面而合理了。另外，在Fraenkel陳述中的第一句話，不光是指明了任一悖論總相對于某一系統這一點，十分重要的是在這裡強調了該系統的公理和推理原則看上去是合理的，如果不強調指出這一點，那麼我們就可輕而易舉地把一些明顯的矛盾命題湊合在一起算作一個系統，然後宣布在這個系統中創造性地發現了許多悖論。

二、悖論的起源

關于悖論的起源，可以追溯到古希臘和我國先秦哲學時代，但在那時代其往後的一個相當長的曆史時期中，悖論往往泛指那些推理過程看上去是合理的，但推理的結果卻又違背客觀實際。例如，著名的芝諾悖論便屬于這一類悖論。

在曆史上，還有另一種與之相反的情形而稱之為悖論的，那就是由于新概念的引入而違背了具有曆史局限性的傳統觀念，這也一時稱為悖論的發現。這就不是推理看上去好像是合理的問題，而是傳統觀念貌似真實的事了。例如Galilei對平方數與自然數一一對應的發現而矛盾于全體大于部分的原則，在曆史上也稱為Galilei悖論。這就不是Galilei的發現在推理上的問題，而是由于全體大于部分的直觀原則是從有限數量的事物關系中抽象出來的，自然不适用無窮集合的情形了。諸如此類的悖論還可列舉，例如，鳄魚的二難論等，但所有這些與我們今天所講悖論的含義已略有距離。因之，述其一、二就不作更多的讨論了。

曆史上，與今天所講悖論的含義較為切近并可看作悖論之直接起源的是這樣一件事。公元前六世紀，克裡特哲學家Epimenides發現了一個實際上沒有構成悖論的悖論。其原始命題是：一個克裡特人說：“所有的克裡特人所說的每一句話都是謊話”試問這句話是真是假。如果它是真話，則因這句話也出自一個克裡特人之口，故按此話的論斷可推知這句話為假。因之，由這句話的真可導緻它為假。但反過來，若設這句話為假，則并不導緻任何矛盾。但僅由它的真可導緻它為假這一點而言，就足以引人注目了。

在此順便指出：上述那個并非悖論的悖論卻至今有被誤認為悖論的情況，其實是一種誤解或疏忽。因為假定這句話是假，并不引起矛盾，更推不出它為真，至多說并非每個克裡特人總說謊。另外，在曆史上，這個原來認為是悖論而實際上不是悖論這一點也早已為人們所覺察，并設法修改它。最先是Eubulides（公元前4世紀）把上述命題改述為：現在我說的是一句假話。這就是我們下文所要分析讨論的“強化了的扯謊者悖論”，對此暫且不談。又有羅素指出，如果假定了在此克裡特人說這句話之前的每個克裡特人所說的每句話皆為假話這樣一個前提，則上述原始命題便構成悖論。因由原始命題的真導緻它為假已如上述，現假定原始命題為假，則至少有一個克裡特人說過一句真話，但因為有了如上這樣一個前提，這就有且僅有這一原始命題是真話。故又由它的假導緻了它為真。這就構成了現代意義下的一個悖論。但是這樣一個前提太強，無非是在人為地制造悖論罷了。

再舉一個例子，一個人說：“上帝是全能的，全能就是勝過一切”。試問此話真、假如何？設其為真，則可問：“上帝能否創造一個對手來擊敗上帝呢？”如果能，則上帝就要被上帝自己創造出來的對手擊敗，故上帝并非全能。如果不能，就說明上帝還有事情做不到，即并非全能。不論何說，均導緻上帝全能這句話為假。但是，反過來設這句話為假，則并不導緻任何矛盾，全能的上帝本來就不存在。

以上二例均不構成悖論，卻指明了一個邏輯推理，即當否定者自身被包括在被否定的對象中時，則否定者必然走向它的反面。上帝全能原要否定一切，因為上帝自己也置身于這一切之中，結果必然否定上帝自己。前例中那個克裡特人也是一樣，由于他自身就是克裡特人，必然導緻他自身說謊。

後來，人們順着Epimenides的原始命題，終于構造了等價于上述Epimenidcs命題的強化了的扯謊者悖論，即“永恒性說謊者悖論”，陳述如下：

（在本頁本行裡所寫的那句話是謊話）由于上一行裡除了這句話本身之外别無任何其他的話，因此，這是一句話中套話的話，而被套之話就是套它之話自身，于是若設該話為真。則要承認該話之結論，從而導緻該話為謊話。若設該話為謊話，則應肯定該話結論的反而為真，因之推出該話為真。

這就真正構成了現代意義下的一個悖論。問題出在什麼地方？這是由于語言層次的混亂，被論斷是真是假的話與去論斷它的話混而為一。如果在下一行寫上一句話：

（A）現在在下雨。

然後再在下一行寫一句話：

（B）前一行裡寫的那句話是謊話。

這就不能構成悖論。話（B）是真是假，要看（A）的真假，而（A）的真假決定于現在是否下雨。在這裡，話（A）是被論斷的話，而話（B）是對（A）去作論斷的話。故“強化了的撒謊者悖論”的症結就在于作論斷的話與被論斷的話混而為一。所以，這個悖論的排除在于語言的分層，這正是近代語義學産生發展的原因，也正是語義學所研究的重要内容。

最近美國數理邏輯學家Smullyan寫了一本書，其書名為“這本書的書名叫什麼？”現把這本書放在桌子上，并有甲、乙、丙 三個人圍着它，因為甲不識字而指着該書問：“這本書的書名叫什麼？”而乙又接着指着這本書說：“這本書的書名叫什麼？”這時丙在考慮，剛才乙講這句話算是回答甲的問題呢？還是在重複甲的提問呢？而且乙可以叫别人永遠猜不着。因為這既是問也是答。但是，如果乙誠心想回答甲的問題而又願意把話說得清楚些：“這本書的書名就叫做《這本書的書名叫什麼？》”。這就不緻引起丙的煩惱了。在這裡，同樣存在着語義學的問題。

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