上篇關于群論的文章收到很多朋友同學的鼓勵和打賞，多謝！有些朋友甚至提到期待下篇，這令偉崗有些感動！今天就來聊聊群論的一些具體内容，算是對上一篇的補充。由于内容有難度，偉崗也是自學成才，有些叙述難免有誤，也請大家原諒包涵并批評指正，謝謝了！

上一篇賣了點關子，這一篇就從那些關子開始。第一個問題就聊聊5次方程沒有根式解的問題。

其實這個問題還困擾了偉崗很多年，主要因為要理解根式解需要一個過程。目前大多數數學書籍對這個問題都一帶而過，沒有過多解釋，而這恰好是偉崗學習的一個盲點，後來在油管上看了一個教授的講課錄像，才恍然大悟，原來根式解問題要從方程和數的性質兩方面去理解！

方程可以說是初等數學的精華，你掌握了方程，初等數學就掌握了一大半。方程的精髓是平衡，也就是方程等号兩邊要始終保持相等一緻。當你在方程一邊做任何運算時，一定記住在另一邊要做同樣的動作，而且這些動作必須是合法，沒有任何違背運算規律的，否則你即使求出了方程的根也必須驗證這個根是不是真正方程的根。

上面這段話，看似簡單，還是需要大家去體會，偉崗當年自學數學，就是從方程開始的。其中驗根尤其重要，因為很多時候，你很可能用零乘了方程的兩邊，這樣破壞了方程的平衡。

回到5次方程的問題，根式解也是一個平衡。平衡的一邊是未知數（也就是要求的方程的根，一般用x表示），另一邊是由方程系數組成的運算式（這個叫方程的解，比如一元二次方程解的公式）。對解的運算式限制，決定了解的形式，也就是說解在某種運算範圍内存不存在。比如說如果不允許乘除運算，隻允許加減運算，那麼方程ax=b就沒有解，也就是說對于加減運算來說，ax=b沒有解。把這個不太恰當的例子推廣到5次方程，所謂5次方程根式解不存在，就是說你找不到一個公式，這個公式隻有加減乘除和開方（包括任意次開方，比如開三次方，開四次方等）運算，通過這些運算（注意這些運算是作用到方程的系數上的，而不是任意的數）而得到方程的解。也就是說，你找不到一個平衡，這個平衡的一邊是5次方程的未知數（也就是x），另一邊是用方程系數組成的，隻包含加減乘除和開方運算的表達式。為什麼會這樣呢？大多數教科書到了這個環節，往往就說是因為伽羅華證明這一點。這樣說也不算錯，不過更深層的思考，偉崗認為是由數的性質決定的，這句話怎麼講呢？

可能在伽羅華時代對這個問題，大家還覺得不可思議，數的性質怎麼能決定根式解不存在？但是到了我們現代，這個問題就相對好理解了，因為有了超越數的存在。超越數也是一個很有趣而我們大家很少關注或者很難理解的問題，以後找機會，偉崗跟大家聊聊。

所謂超越數，就是說這類數不可能是任何代數方程（也稱為多項式方程）的根。圓周率π就是一個超越數。也就是說，圓周率π代入任何代數方程，方程兩邊都不可能平衡。說得更直白一點，那就是圓周率π經過如何加減乘除開方運算以及跟其它有理數之間進行這些運算都不會等于零（也就是說使代數方程兩邊相等）。有了這樣的準備，沒有根式解就比較好理解了。

伽羅華實際上是證明了有這樣的數存在，它是5次方程的根（也就是說代入5次方程，能使5次方程平衡），但是這個數不能用由方程系數組成的，隻包含加減乘除和開方運算的式子計算出來。甚至存在這樣的數，它是5次方程的根，但是不能用有理數通過加減乘除和開方運算計算出來。

理解了上面這些，你基本就理解了所謂5次方程沒有根式解的含義。當然要說明的一點是，并不是所有的5次方程都沒有根式解，事實上很多5次方程都有根式解，但因為有沒有根式解的5次方程存在，所以我們說5次方程沒有根式解。伽羅華的偉大就在于，它用群的理論，真的找出了沒有根式解的5次方程，在這樣的事實面前，任何尋找5次方程解的通項公式就沒有意義了，數學就進入了一個嶄新的境界。

當然伽羅華斷言五次及以上方程沒有根式解，對數學家來說一點都不出奇，事實上伽羅華之前就有很多數學家懷疑并公開宣稱五次方程沒有根式解，阿貝爾甚至用複雜的推導證明了五次方程沒有根式解。讓伽羅華永垂青史的是他的證明。他不僅斷言五次方程沒有根式解，而且用嚴格的邏輯推理證明了他的斷言。伽羅華的證明還超越了時代，在他生前無一人能夠理解他天才般的思維，直到他去世10多年後，數學家才慢慢理解了他的證明。

平心而論，伽羅華的證明确實很有難度。就是到了21世紀的今天，像偉崗這樣經過正規大學教育的畢業生也要費很大勁才能勉強理解伽羅華證明的思路。要想真正掌握群論這個工具，估計需要大學數學專業碩士水平，由此可見這個理論的深奧。

對數學發展來說，最大的遺憾就是伽羅華卷入懷疑被人設立的圈套，參與一個無謂的決鬥而失去了生命。所以留給後人的隻有區區兩篇論文（應該是3篇，不過有一篇不重要，一般數學家都忽略），短短的兩篇文章當然很難描述複雜的群理論。不過伽羅華生活在法國大革命時代，一個有鮮明色彩的天才，生活在那個時代，發生悲劇一點都不意外。使我們後人感到惋惜的是，伽羅華的思想沒有辦法完全展示在世人面前，以至于現在很多數學史學家隻有發揮自己的想象，添加很多浪漫的情節，把伽羅華的形象拔高很多。

回到伽羅華的證明，我們先把伽羅華的結論粗粗的描述一下。對待五次方程沒有根式解問題，伽羅華給出了一個定理來确定在什麼條件下有根式解，在什麼條件下沒有根式解，也就是5次方程有根式解的充分必要條件。前面我們講過群的概念，也就是滿足4個條件元素的組合。4個條件是關鍵，也就是封閉性（屬于群中元素之間進行特定的運算得出的結果元素仍然屬于這個群，注意這個運算是抽象，可能是加法運算，也可能是一種對元素的操作），結合律（這個和加法乘法的結合律類似，不過此時的運算是特定抽象的運算），群裡必須有單位元（類似于乘法運算中的1，加法運算中的零），還必須有逆元存在（類似加法中的負數，乘法中的倒數）。

有了群的定義，還遠遠不過。首先我們必須把群的内容跟方程聯系起來。偉崗認為（不一定準确），伽羅華時代的數學家都認識到這一點，那就是根與系數的關系是方程有沒有根式解的關鍵。事實上，阿貝爾就是通過這個關系證明了5次方程沒有根式解，不過伽羅華進行了更進一步的思考，估計他發現（這個也是偉崗的猜測），之所以5次方程沒有根式解，是因為方程系數的對稱關系決定的，或者說是方程系數的對稱變換決定的。這句話怎麼理解呢？

從現在的數學教科書來看，實際上伽羅華是利用了方程系數跟置換群的關系，證明了無根式解這個幾百年數學家都沒有解決的大難題。這裡又隐藏了很多我們隻有初等數學基礎不知道的數學知識。首先什麼叫置換群？其次方程系數怎麼跟置換群拉上關系？最終，也是最大的難點，伽羅華是怎麼利用這個置換群理論，證明5次方程沒有根式解的？

這次還真不是偉崗故意賣關子，實在是群論太難。可以說，群論的數學知識困擾了偉崗上十年，到現在還沒有完全理清群論的理論脈絡。

先談談偉崗對置換群的理解。置換群可以說是數學上群理論的一個典型代表。首先組成它的元素不是具體的數，而是一種變換。

舉個最簡單的例子，對于（1，2）這樣的排列，我們可以把它變換成（2,1），這時這個變換就是置換群的一個元素。注意，不是1,2或者（1,2）等這樣具體的數或排列組成置換群，而是把一個排列變成另一個排列的變換當做置換群的元素。這一點非常抽象。

數學家還還專門用希臘字母定義這樣的變換。比如（1,2）變成（2,1）用σ₁₂表示。當然我們可以把排列複雜化，比如（1,2,3,4）就可以變換成（4,2,3,1）；（1,2,4,3）等。因為輸入法的問題，偉崗這裡就不舉多維的例子。總之，就像矩陣一樣，我們可以任意變換多維矩陣裡面元素的位置，這樣的變換，我們把它們組合起來，數學家證明了這些組合可以組成一個群，也就是說滿足群的4個條件，從而得到的就是置換群。

置換群其實是描述一組排列整齊數的對稱性。這又是什麼意思呢？你想啊，我們怎麼判斷兩個物體是對稱的？這個當然不能憑感覺，要有邏輯推理。首先，我們要找到對稱軸，其次，我們要把兩個可能對稱的物體進行旋轉平移等變換，如果兩個物體經過特定的變換，重合了，這時我們就可以斷定這兩個物體是對稱的。

粗略地講，置換群中的元素(也就是一種變換，這個變換改變了排列元素的位置)起到沿着對稱軸平移旋轉的功能。這個就比較抽象。隻能大概理解為，當你變換一個複雜排列元素位置時，它是否對稱這個性質就可以表現出來。也許這個表現非常不直觀（實際上，大部分通過置換群運算得到的結果似乎都跟對稱性無關），但是排列元素位置的變化，肯定體現了這個排列布局的性質，而是否相對于某個對稱軸（這裡所說的對稱軸也是抽象的概念。你發揮想象，可以是很多東西，比如一個固定的點）對稱這樣的性質，肯定埋藏在布局裡面。

群論的難點和奧秘，偉崗認為就在這裡。它的所謂研究結構，不研究具體的數，就是抛開一些細節，研究整體性質。在置換群這個具體例子上，群論就是研究排列元素的對稱性等整體性質，得到一些驚人的結果。

伽羅華就是利用置換群這個工具得到5次及以上方程根式解存在的充分必要條件，這個結論夠驚人的吧！在伽羅華之前，估計世界上沒有一個人想得到！從整個人類乃至時代脫穎而出，這樣的天才在曆史上非常的少，伽羅華做到了，我們不得不佩服他的天分。

那麼問題就來了，伽羅華是怎麼利用置換群作用到方程系數上，得出一個前人誰都想不到的結論呢？偉崗這裡又要賣個關子了，因為今天的篇幅太長，留在下次在跟大家聊聊！

文章結尾還是要感謝同學們的鼓勵和打賞。同時希望喜歡飛镖的同學到我的淘寶小店購買世界頂級品牌的哈路士飛镖，淘寶店名：偉崗飛镖，謝謝！！

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