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高中數學三角函數高能解析

教育更新时间:2024-11-20 02:24:09

三角函數一直都是高中數學的重要内容，也是高考的必考闆塊。由于公式較多，很多同學都苦不堪言，下面和大家分享一道題目，從中體會公式方法的巧妙運用，希望能給大家幫助與啟發。

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）1

這是一道非常典型的三角函數題目，已知角的函數值，求表達式的值問題。

法一：典型方法，利用基本公式，同角的正弦平方加餘弦平方等于一。

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）2

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）3

啟示：該方法巧妙的運用了"1"，将其變化為"正弦平方加餘弦平方"的形式，将分子的sin2θ用正弦的二倍角公式展開變為2sin θcos θ，然後分子分母都同除以cos θ的平方，所求表達式就變成了隻含有已知條件tan θ的式子了，帶入已知，問題得解。

法二：正弦萬能公式法

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）4

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）5

啟示：該方法運用了補充公式--正弦的萬能公式和正割公式，将所求表達式轉換成了隻含有正切 tan θ的形式，然後帶入已知，問題得解。

法三：特殊值法

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）6

所以sin θ與cos θ同号，不妨取θ為第一象限角，因為所求為cos2 θ與sin θcos θ形式的和，因為在直角三角形中三角函數的大小可以看成三角型對應邊長的比值，所以角θ的正切值等于它對的直角邊比它臨的直角邊（對/臨），角θ的正弦等于它對的直角邊比斜邊（對/斜），角θ的餘弦等于它臨的直角邊比斜邊（臨/斜），如圖所示，所以不妨取角θ對的直角邊等于3，角θ臨的直角邊等于4，則直角三角形的斜邊等于5。

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）7

高中數學三角函數高能解析（高中數學之妙用公式三角函數一題5解）8

啟示：該方法充分運用了三角函數值在直角三角形中邊長比的特殊關系，使用指定特殊值法，直接将正切tan θ分式比值的分子、分母轉變成對應直角邊的邊長、然後利用勾股定理得到斜邊的邊長，從而得到了相應的sin θ值和cos θ值，問題得解。

法四：二倍角法：運用正切和餘弦的二倍角公式。

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啟示：該方法運用了正切和餘弦的二倍角公式，先根據tan θ，求得tan 2θ的值，将cos2 θ轉化成cos θ的平方，然後根據"法三"提到的特殊值法，設定sin 2θ和cos 2θ的值，問題得解。

法五：半角公式法

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啟示：該方法運用了半角公式和分式的性質，先根據tan θ直接得到含有sin 2θ和 cos 2θ的表達式，然後根據比例性質轉化成所求的形式，然後可根據"法三"提到的特殊值法，設定cos θ的值，問題得解。

希望以上的幾種方法能給大家在學習三角函數方面帶來一些啟迪，巧妙的運用公式的轉化，快速的求解問題，歡迎大家讨論，提出更多更好的方法，共勉之！

願學習能給你帶來快樂！

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