整除

例1:

一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，适合這些條件的最小數是______。

講析：所求這個數分别除以3和7時，餘數相同。

3和7的最小公倍數為21。所以這個數是23。經檢驗，23除以5商4餘3，23是本題的答案。

例2：

一個整數在3600到3700之間，它被3除餘2，被5除餘1，被7除餘3。這個整數是__。

講析：所求整數分别除以3、5、7以後，餘數各不相同。但仔細觀察可發現，當把這個數加上4以後，它就能同時被3、5、7整除了。

因為3、5和7的最小公倍數是105。

3600÷105=34餘30，105-30=75，

所以，當3600加上75時，就能被3、5和7整除了。即所求這個整數是3675。

例3：

在一個兩位數中間插入一個數字，就變成了一個三位數。如52中間插入4後變成542。有些兩位數中間插入某個數字後變成的三位數，是原兩位數的9倍。這樣的兩位數共有__個。

講析：因為插入一個數字後，所得的三位數是原兩位數的9倍，且個位數字相同。則原兩位數的個位數字一定是0或5。

又插入的一個數字，必須小于個位數字，否則新三位數就不是原兩位數的9倍了。因此原二位數的個位不能為0，而一定是5。

結合被9整除的數字特征，不難找到符合要求的兩位數有45、35、25和15共4個。

例4：

a是一個自然數，已知a與a 1的各位數字之和都能被7整除，那麼這樣的自然數a最小是__。

講析：a與a 1的各位數字之和都是7的倍數。則a的個位數字一定是9。因為如果個位上不是9時，若a的各位數字之和是7的倍數，則a 1的各位數字之和除以7以後，肯定餘1。

隻有當a的個位上是9時，a 1之後，個位上滿十後向前一位進一，a 1的個位數字和才有可能是7的倍數。

聯想到69，69 1=70，經适當調整可得，符合條件的最小數a是69999。

例5：

一個自然數被8除餘1，所得的商被8除也餘1，再把第二次所得的商被8除後餘7，最後得到的一個商是a[見圖5.43（1）]，又知這個自然數被17除餘4，所得的商被17除餘15，最後得到一個商是2a[見圖5.43（2）]，求這個自然數。

講析：可從最後的商步步向前推算。

由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a 7）；第一次商是8×（8a 7） 1=64a 57；所求的自然數是8×（64a 57） 1=512a 457

由圖5.43（2）得，所求的自然數是578a 259

所以，512a 457=578a 259。

解得a=3。

故，這個自然數是512×3 457=1993。

例6：

某住宅區有十二家住戶。他們的門牌号分别是1、2、3、……、12。他們的電話号碼依次是十二個連續的六位自然數，并且每戶的電話号碼都能被這戶的門牌号整除。已知這些電話号碼的首位數字都小于6，并且門牌号是9的這一家的電話号碼也能被13整除。問這一家的電話号碼是什麼數？

講析：設這十二家住戶的電話号碼依次是a 1、a 2、a 3、……，a 12。

因為每戶的電話号碼都能被自己家的門牌号整除，所以數a能同時被1、2、3、……、12整除。

而1、2、3、……、12的最小公倍數是27720，所以六位數中，能同時被1、2、3、……12整除的最小自然數是27720×4=110880

現在考慮第九戶人家的電話号碼能被13整除問題。

因為110880÷13，餘數是12；27720÷13，餘數是4。

也就是在110889的基礎上，再加上n個27720之後的和，能被13整除的數，就是所求的數。

即12 4n，是13的倍數。

顯然，當n=10時，12 4n是13的倍數。

所以，門牌号碼是9的這家電話号碼是：

110889 27720×10=388089。

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