知識點梳理：

1、兩個集合之間的包含關系——子集、真子集與全集

（1）子集、真子集

定義1：對于兩個集合與，如果集合的任何一個元素都屬于集合，那麼集合叫作集合

的子集，記作:或（讀作：包含于或包含）

注1：（1）有兩種可能：①中所有元素是中的一部分元素；②與是中的所有元素都相同；（2）空集是任何集合的子集；任何一個集合是它本身的子集；（3）判定是的子集，即判定“任意”.

定義2：對于兩個集合A與B，如果且，那麼叫做集合等于集合，記作=（讀作集合等于集合

）；注2：（1）如果兩個集合所含的元素完全相同，那麼這兩個集合相等；[來源:學|科|網]

（2）判定，即判定“任意，且任意”.定義3：對于兩個集合與，如果，并且中至少有一個元素不屬于，那麼集合叫做的真子集，記作：或，讀作真包含于或真包含.注2：（1）空集是任何非空集合的真子集，

（3）子集與真子集符号的方向

（4）易混符号：①“”與“”②與

2、兩個集合的運算關系——交集、并集、補集

（1）交集

定義：由所有屬于集合

的元素所組成的集合，叫做集合，記作，即根據定義可知是由集合的公共元素組成的集合，如果集合沒有公共元素，則,這一條可以看成是對定義的補充，所以又有了

（2）并集

定義：由所有屬于集合

或屬于集合的元素所組成的集合，叫做集合與集合的并集，記為，即

（3）補集

n 全集定義

如果一個集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，記作

U。

[說明]①在研究集合與集合之間關系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個确定的集合就是全集。②解決某些數學問題時，有時把實數集R看作全集U，有時把有理數集Q看作全集U，有時把正整數集合看作全集U。

n 補集定義

一般地，設U為全集，A是U的一個子集（即A

U），則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集合A在全集U中的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈u，且

x

A}，讀作“A補”。

舉例說明：解決某些數學問題時，如果

把實數集看作是全集U，那麼有理數集Q的補集CuQ就是全體無理數的集合

補集的性質

① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A

[說明]A的補集是相對于全集而言的，補集的叙述要完整，必須指明是在某個全集中的補集。

4、運算律

（1）根據交集和補集的定義容易知道，交集與并集滿足交換律，即

（2）根據子集和真子集的定義易知包含關系滿足傳遞性，即若

（3）交集運算滿足結合律，即

（4）

典型例題

例1、已知集合

_________

例2、已知全集，且,求

例3、設全集

例4、若集合A=

，當全集U分别取下列集合時，寫出CuA。（補充）

① U=

② U=

③U=

例5、設U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，

① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)

，CuA∪CuB

②從上述結論中，你發現有什麼結論？

③對任意的集合A，B，請你用集合的圖示法說明是否有以上結論

鞏固練習

（1）U={高一（1）班的所有學生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的學生幹部}，求A，B，

的補集并說明其實際意義。（課本P15習題1.3（3））

(2) 若U={三角形}，B={銳角三角形}，則CuB= 。

（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，則CuA= 。

（4）若U={1，3，a² 2a 1}，A={1，3}，CuA={5}，則a= 。

(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。

（6）設、，集合，則（ ）

（7）定義集合運算：，設，，則集合

的所有元素之和為（ ）

（8）若、、為三個集合，，則一定有（ ）

（9）已知，，若,則實數

（10）設為全集，是的三個非空子集，且，則下面論斷正确的是（ ）

（11）設，對任意實數恒成立，則下列關系中成立的是（ ）

（12）已知A={x∣x 4x=0 },B={ x∣x 2(a 1)x a-1=0}

1) 若A

B=B，求a的值

2) 若A

B=B，求a的值

課後練習

一、選擇：

1、設集合

M＝

,

R，

R

，N＝

，

R，

R

，則集合

中元

素的個數為 （

）

（A）1

（B）2 （C）3 （D）4

2、已知集合M={x|x² 14x 48<0},S={x|2a² ax－x²<0}，若M S，則實數a∈ （ ）

A．

B．[－3，6] C．

D．

3、設全集U={(x,y

)|x、y∈R}，集合M={(x，y)|

=1| N={(x，y)|y≠x 1}那麼M∪N的補集等于（ ）

A．0

B．{（2，3）} C．（2，3） D．{(x，y)|y=x 1}

4、設集合

，

，那麼“

”是“

”的（

）

A．充分而

不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 　D．既不充分也不必要條件

5、設P和Q是兩個集合，定義集合

=

，如果

，

那麼

等于（ ）

A．{x|0<x<1

} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} [來源:學科網ZX

XK]

二、填空：

6、設集合

A＝｛5，

｝，集合B＝｛

,

｝．若A

B＝｛2｝，則A

B＝

7、設非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x 3,x

A}

, C={z|z= x

,x

A },且B∩

C

=C，則實數a的取值範圍 。[來源:Z#xx#k.Com]

8、定義差集：M－N＝{x｜ｘ

Ｍ，且ｘ

Ｎ}，若M＝{2，4，6，8，10

}

N＝{1，2，3，4，

5}，則M－（M－N）＝

9、集合M={（x，y）│y

=

，x，y∈R}，N={（x，y）│x=

1，y∈

R}，則M∩N=_______

10、設集合M={x│m≤x≤m

}，N={x│n-

≤x≤n}，且M，N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a稱為集合{x│a≤x≤b}的“長度”，那麼集合M∩N的“長度“的最小值是_____________

______

三、解答

11、已知A={x|x² px q=0},B={x|x²－3x 2=0}，且A∪B=B，求p、q的關系或p、q

的值。[來源:學科網ZXXK]

12、已知集合

求實數

的取值範圍。

[來源:學科網ZXXK]

13、已知集合

，集合

，若

，求實數

的取值

範圍。

14、已知集合

，集

合

⑴若

，求正數

的取值範圍；⑵若

,求正數

的取值範圍

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