知識點梳理:
1、兩個集合之間的包含關系——子集、真子集與全集
(1)子集、真子集
定義1:對于兩個集合與,如果集合的任何一個元素都屬于集合,那麼集合叫作集合
的子集,記作:或(讀作:包含于或包含)
注1:(1)有兩種可能:①中所有元素是中的一部分元素;②與是中的所有元素都相同;(2)空集是任何集合的子集;任何一個集合是它本身的子集;(3)判定是的子集,即判定“任意”.
定義2:對于兩個集合A與B,如果且,那麼叫做集合等于集合,記作=(讀作集合等于集合
);注2:(1)如果兩個集合所含的元素完全相同,那麼這兩個集合相等;[來源:學|科|網]
(2)判定,即判定“任意,且任意”.定義3:對于兩個集合與,如果,并且中至少有一個元素不屬于,那麼集合叫做的真子集,記作:或,讀作真包含于或真包含.注2:(1)空集是任何非空集合的真子集,
(3)子集與真子集符号的方向
(4)易混符号:①“”與“”②與
2、兩個集合的運算關系——交集、并集、補集
(1)交集
定義:由所有屬于集合
的元素所組成的集合,叫做集合,記作,即根據定義可知是由集合的公共元素組成的集合,如果集合沒有公共元素,則,這一條可以看成是對定義的補充,所以又有了
(2)并集
定義:由所有屬于集合
或屬于集合的元素所組成的集合,叫做集合與集合的并集,記為,即
(3)補集
n 全集定義
如果一個集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集,記作
U。
[說明]①在研究集合與集合之間關系時,這些集合往往是某個給定集合的子集,這個确定的集合就是全集。②解決某些數學問題時,有時把實數集R看作全集U,有時把有理數集Q看作全集U,有時把正整數集合看作全集U。
n 補集定義
一般地,設U為全集,A是U的一個子集(即A
U),則由U中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做集合A在全集U中的補集,記作CuA,即CuA={x|x∈u,且
x
A},讀作“A補”。
舉例說明:解決某些數學問題時,如果
把實數集看作是全集U,那麼有理數集Q的補集CuQ就是全體無理數的集合
補集的性質
① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu(CuA)=A
[說明]A的補集是相對于全集而言的,補集的叙述要完整,必須指明是在某個全集中的補集。
4、運算律
(1)根據交集和補集的定義容易知道,交集與并集滿足交換律,即
(2)根據子集和真子集的定義易知包含關系滿足傳遞性,即若
(3)交集運算滿足結合律,即
(4)
典型例題
例1、已知集合
_________
例2、已知全集,且,求
例3、設全集
例4、若集合A=
,當全集U分别取下列集合時,寫出CuA。(補充)
① U=
② U=
③U=
例5、設U={a,b,c,d,e},A={a,b},B={b,c,d},
① 求CuA∩CuB,Cu(A∩B),Cu(A∪B)
,CuA∪CuB
②從上述結論中,你發現有什麼結論?
③對任意的集合A,B,請你用集合的圖示法說明是否有以上結論
鞏固練習
(1)U={高一(1)班的所有學生},A={高一(1)班的女生},B={高一(1)班的學生幹部},求A,B,
的補集并說明其實際意義。(課本P15習題1.3(3))
(2) 若U={三角形},B={銳角三角形},則CuB= 。
(3)若U={1,2,4,8},A=ø,則CuA= 。
(4)若U={1,3,a2 2a 1},A={1,3},CuA={5},則a= 。
(5) 已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B= 。
(6)設、,集合,則( )
(7)定義集合運算:,設,,則集合
的所有元素之和為( )
(8)若、、為三個集合,,則一定有( )
(9)已知,,若,則實數
(10)設為全集,是的三個非空子集,且,則下面論斷正确的是( )
(11)設,對任意實數恒成立,則下列關系中成立的是( )
(12)已知A={x∣x 4x=0 },B={ x∣x 2(a 1)x a-1=0}
1) 若A
B=B,求a的值
2) 若A
B=B,求a的值
課後練習
一、選擇:
1、設集合
M=
,
R,
R
,N=
,
R,
R
,則集合
中元
素的個數為 (
)
(A)1
(B)2 (C)3 (D)4
2、已知集合M={x|x2 14x 48<0},S={x|2a2 ax-x2<0},若M S,則實數a∈ ( )
A.
B.[-3,6] C.
D.
3、設全集U={(x,y
)|x、y∈R},集合M={(x,y)|
=1| N={(x,y)|y≠x 1}那麼M∪N的補集等于( )
A.0
B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x 1}
4、設集合
,
,那麼“
”是“
”的(
)
A.充分而
不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
5、設P和Q是兩個集合,定義集合
=
,如果
,
那麼
等于( )
A.{x|0<x<1
} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} [來源:學科網ZX
XK]
二、填空:
6、設集合
A={5,
},集合B={
,
}.若A
B={2},則A
B=
7、設非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x 3,x
A}
, C={z|z= x
,x
A },且B∩
C
=C,則實數a的取值範圍 。[來源:Z#xx#k.Com]
8、定義差集:M-N={x|x
M,且x
N},若M={2,4,6,8,10
}
N={1,2,3,4,
5},則M-(M-N)=
9、集合M={(x,y)│y
=
,x,y∈R},N={(x,y)│x=
1,y∈
R},則M∩N=_______
10、設集合M={x│m≤x≤m
},N={x│n-
≤x≤n},且M,N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a稱為集合{x│a≤x≤b}的“長度”,那麼集合M∩N的“長度“的最小值是_____________
______
三、解答
11、已知A={x|x2 px q=0},B={x|x2-3x 2=0},且A∪B=B,求p、q的關系或p、q
的值。[來源:學科網ZXXK]
12、已知集合
求實數
的取值範圍。
[來源:學科網ZXXK]
13、已知集合
,集合
,若
,求實數
的取值
範圍。
14、已知集合
,集
合
⑴若
,求正數
的取值範圍;⑵若
,求正數
的取值範圍
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!