在兩個同心圓中，任作兩條半徑。它們與圓相交，形成的曲邊四邊形我們稱為扇環，如圖1陰影部分。近年來由于旋轉帶來陰影面積之扇環問題頻頻出現在中考中，有面積問題，弧長問題等，這類中考問題大多以現實生活為背景，經常與全等三角形知識、解直角三角形等綜合在一起。

引例：當汽車在雨天行駛時，司機為了看清楚道路，要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器．如圖是某汽車的一個雨刷器的轉動示意圖，雨刷器杆AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉動），當杆AB繞A點轉動90°時，雨刷CD掃過的面積如圖所示，現量得：CD＝80cm、∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA＝35cm，試從以上信息中選擇所需要的數據，求出雨刷掃過的面積．

【分析】雨刷CD掃過的面積就是一個大扇形﹣小扇形的面積，圓心角是90度，半徑分别為115cm，35cm，所以根據扇形的面積公式計算．

【解答】由題意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，

且大扇形半徑AC＝115cm，小扇形半徑AD＝35cm，且圓心角都為直角，

答：雨刷掃過的面積為3000πcm²．

【點評】此題主要考查了扇形面積計算，本題的關鍵是看出雨刷CD掃過的面積就是一個大扇形﹣小扇形的面積，然後再從一堆的數據中分出哪些是有用的，哪些是沒用的．根據扇形的面積公式計算．

例1（引例變式）．一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖1所示，量得連杆OA長為10cm，雨刮杆AB長為45cm，∠OAB＝120°．若啟動一次刮雨器，雨刮杆AB正好掃到水平線CD的位置，如圖2所示．

（1）求雨刮杆AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；

（2）求雨刮杆AB掃過的最大面積．

【分析】（1）利用已知圖形得出雨刮杆AB旋轉的最大角度，再利用銳角三角函數關系得出BE的長，進而求出BO的長；

（2）直接得出△BAO≌△OCD，進而得出雨刮杆AB掃過的最大面積．

【解答】（1）雨刮杆AB旋轉的最大角度為180°，

如圖2，連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于E，

∵∠OAB＝120°，∴∠OAE＝60°

在Rt△OAE中，

∵∠OAE＝60°，OA＝10cm，

∴sin∠OAE＝OE/OA=OE/10，

∴OE＝5

cm，AE＝5cm∴EB＝AE AB＝50cm，

在Rt△OEB中，∵OE＝5

cm，EB＝50cm，

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及銳角三角函數關系，利用銳角三角函數關系得出OE的長是解題關鍵．

例2．如圖，扇形OAB與扇形OCD的圓心角都是90°，連結AC，BD．

（1）求證：AC＝BD；

【分析】（1）根據等角的餘角相等得∠AOC＝∠BOD，則可根據“SAS”證明△AOC≌△BOD，則AC＝BD；

（2）如圖，由于∠COF＝∠EOD，則S_扇形COF＝S_扇形EOD，加上S_△AOC＝S_△BOD，易得S＝S′，于是S_陰影部分＝S_扇形AOB﹣S_扇形EOF，然後根據扇形面積公式得

【解答】（1）證明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，

即∠AOC ∠AOD＝∠BOD ∠AOD，

∴∠AOC＝∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

AO=BO, ∠AOC＝∠BOD，CO=DO,

∴△AOC≌△BOD，

∴AC＝BD；

（2）解：如圖，∵∠COF＝∠EOD，

∴S_扇形COF＝S_扇形EOD，

而S_△AOC＝S_△BOD，

∴S＝S′，

∴S_陰影部分＝S_扇形AOB﹣S_扇形EOF，

例題2變式．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝2cm，将△ABC繞頂點C按順時針旋轉45°至△A₁B₁C的位置，

（1）求證：△ACB≌△A₁CB₁；

（2）求線段AB掃過的區域（圖中陰影部分）的面積．

【分析】（1）由旋轉的性質知BC＝B₁C、∠BCB₁＝∠ACA₁、AC＝A₁C，繼而知∠BCA＝∠B₁CA₁，再根據“SAS”即可證明．

（2）根據陰影部分的面積是：S_扇形BCB1 S_△CB1A₁﹣S_△ABC﹣S_扇形CAA1，分别求得：扇形BCB₁的面積，S_△CB1A₁，S_△ABC以及扇形CAA₁的面積，即可求解．

【解答】（1）由△ABC繞頂點C按順時針旋轉45°得△A₁B₁C知BC＝B₁C、∠BCB₁＝∠ACA₁、AC＝A₁C，

∴∠BCB₁ ∠B₁CA＝∠ACA₁ ∠B₁CA，即∠BCA＝∠B₁CA₁，

在△ACB和△A₁CB₁中，

【點評】本題考查了旋轉的性質及扇形的面積的計算，正确理解陰影部分的面積＝S_扇形BCB1 S_△CB1A1﹣S_△ABC﹣S_扇形CAA1是關鍵．

例3．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB繞點O順時針旋轉90°後得到Rt△FOE，将線段EF繞點E逆時針旋轉90°後得到線段ED，分別以O、E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分的面積是________．

【分析】作DH⊥AE于H，根據勾股定理求出AB，根據陰影部分面積＝△ADE的面積 △EOF的面積 扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計算即可．

【解答】作DH⊥AE于H，

∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，

∴利用勾股定理可求得AB=√5，

由旋轉，得△EOF≌△BOA，

∴∠OAB＝∠EFO，

∵∠FEO ∠EFO＝∠FEO ∠HED＝90°，

∴∠EFO＝∠HED，∴∠HED＝∠OAB，

∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，

∴△DHE≌△BOA（AAS），

∴DH＝OB＝1，

陰影部分面積＝△ADE的面積 △EOF的面積 扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積

【點評】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉的性質、全等三角形的性質，掌握扇形的面積公式和旋轉的性質是解題的關鍵．

變式練習1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中點O為坐标原點，AB所在直線為x軸建立的平面直角坐标系中，将△ABC繞點B順時針旋轉，使點A旋轉至y軸的正半軸上的A′處，若AO＝OB＝2，則陰影部分面積為（ ）

【變式練習1答案及提示】D． 本題考查了旋轉的性質、扇形面積計算、中垂線的性質，掌握直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，表示出陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關鍵，難點在于求出旋轉角的度數．

根據線段垂直平分線的性質可得AC＝BC，由AO＝OB＝1求出AB＝2，再根據旋轉的性質可得A′B＝AB，然後求出∠OA′B＝30°，再根據直角三角形兩銳角互餘求出∠A′BA＝60°，即旋轉角為60°，再根據S_陰影＝S_扇形BAA′ S_△A′BC′﹣S_△ABC﹣S_扇形BCC′＝S_扇形BAA′﹣S_扇形BCC′，然後利用扇形的面積公式列式計算即可．

總之，利用分割補或拼接的方法，将這類雨刷類不規則面積轉化規則扇形環圖形面積求解。對于涉及扇環的面積問題，常用的方法有：直接應用公式法，和差法，割補法。

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