靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 167

最後兩數

黑闆上從左往右寫了1，2，3，…，1000，共1000個自然數，将每次擦掉最左邊兩個數，然後把這兩個數的和寫在最右面定義為一次操作，經過998次操作後黑闆上隻剩下兩個數。問：這兩個數分别是多少？

來源：題友 @搬磚買别墅

★ 右下角寫留言或點擊左下角的閱讀原文進入答題頁面，直接在帖子後面回複你的答案。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案将在下期公布。

★ 公衆号中回複題友會申請加入題友會微信群，與題霸們一起刷題。

上期問題回顧

NO. 166

非約數的概率

在2016的全部約數中随機選擇兩個數（可重複），問這兩個數的乘積不是2016的約數的概率是多少？

分析與解答

答案為：17/24

1、對2016進行素因數分解為：

那麼2016的約數可表示為

的形式，其中a，b，c為整數且0≤a≤5，0≤b≤2，0≤c≤1。

2、設2016的兩個約數為：

其中0≤a₁,a₂≤5，0≤b₁,b₂≤2，0≤c₁,c₂≤1，且都為整數。兩個約數的乘積為：

容易知道，當0≤a₁ a₂≤5，0≤b₁ b₂≤2，0≤c₁ c₂≤1時，兩個約數的乘積xy才是2016的約數，否則就不是2016的約數，所以，可以先算xy是2016的約數的概率。

3、考慮a₁ a₂，總共有6²=36種可能取值，而其中滿足0≤a₁ a₂≤5的有1 2 3 4 5 6=21種可能。這個結論可以推廣到更一般情況：設0≤a₁,a₂≤n，且為整數，則a₁ a₂，總共有(n 1)²種可能取值，且其中滿足0≤a₁ a₂≤ n的有1 2 3 … (n 1)=(n 1)(n 2)/2種可能。

所以，很容易得到乘積xy是2016約數的概率為

故，非約數概率為17/24。

更多解答請參看

題友解答精選◎題友 @教數匠的解答：

對2016素因數分解：2016=（2^5）×（3^2）×（7^1），所以因數個數有（5 1）×（2 1）×（1 1）=36個。設因數x=（2^n1）×（3^n2）×（7^n3），因數y=（2^n4）×（2^n5）×（2^n6），其中n1、n4可取0-5，n2、n5可取0-2，n3、n6可取0-1。對于兩個因數，考慮一個素因數的指數，比如n1 n4必須仍然屬于0-5的一個數，依此類推。設某素因數指數有n種可能，用列表法可知滿足條件的有1 2 …… n=n（n 1）÷2，而總共有n^2，概率為（n 1）÷2n。因此積仍是約數概率為7/24，非約數概率為17/24

◎題友 @大成至聖的解答：

這個題目考察的應該是算數基本定理。設自然數n=∏pi^ai(1≤i≤k)，那麼對于題目中的約數選擇要求，等價于選擇所有質因數的指數組合bi(1≤i≤k)，且滿足bi≤ai。可以先求兩次所選約數乘積仍是n的約數的概率。以pi的指數ai為例，假設兩次所選指數分别為bi1和bi2，那麼乘積仍是約數要求bi1 bi2≤ai，這個概率計算很容易Pi=(1 2 ……ai 1)/(ai 1)^2=(ai 2)/2(ai 1)。對于1≤i≤k，隻需要把每一個Pi相乘，最後要求的概率等于1減去該數就可以了。即P=1-∏(ai 2)/2(ai 1)(1≤i≤k)。2016=2^5×3^2×7，那麼P=1-7/12×2/3×3/4=17/24。

◎題友 @Lin-匯豐的解答：

17/24。先将2016分解為2^5×3^2×7，則其約數可表示為p=2^a×3^b×7^c，其中a、b、c均為自然數且滿足a≤5，b≤2，c≤1。任取2016的兩個約數p1和p2相乘得p1×p2=2^(a1 a2)×3^(b1 b2)×7^(c1 c2)，若p1×p2是2016的約數則必須同時滿足a1 a2≤5，b1 b2≤2，c1 c2≤1，易得其概率為：7/12×2/3×3/4=7/24，故其乘積不是2016約數的概率為：1-7/24=17/24。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!