今天我們通過分數除法的例子來體驗，在教學環節的細節的層次如何使用概念地圖理解型學習，如何多問為什麼，如何關注大圖景（典型問題、典型思維方式、典型計算分析方法、典型應用的例子），如何運用WHWM（是什麼、怎麼構建、為什麼這樣構建、為什麼說這個、對讀者意味着什麼）。

分數除法的計算步驟是比較容易學會的，例如

也就是把後面的當做除數的分數分子分母倒過來，然後按照乘法計算，計算的過程中需要注意分子分母消掉相同的因子（分子分母同除以某個數）的技巧。

但是，這樣的教學，對于為什麼分數相除要這樣計算是不明白的。當然，教材也注意到了這個問題。因此，大多數教材是從兩個方面來解決這個問題的：分數除法的意義和問題背景，分數除法的計算。這個思路沒有絲毫問題，我們也從這兩個方面來解決這個問題。

我們先來從分數除法計算的角度看。我寫下來每一個步驟和這個步驟的理由，

或者更一般地，

可以看到，這樣的計算的道理要想得明白的話，需要學生之前就明白“分數線可以看做除法”、“整數乘除法的結合律”、“整數乘除法的交換律”、“整數乘除法的退括号”。其中，“分數線可以看做除法”和“除法去括号”最最重要，并且“除法去括号”可能需要複習或者額外補充一下。不過，原則上，這個應該是在學習整數除法的時候就已經通過理解型學習解決的事情。

在這裡，我想強調的事情是“每一個思考的步驟，都需要給出來明确的理由”。學數學，要學會這個。當然，這僅僅是形式上學會如何計算，盡管已經比前面教純粹計算方式的要好，但是還是不夠的。

我們在來看，分數除法的意義怎麼教。

• 首先，我們需要構造一個意義場景，而且和之前已經學習過的東西比較接近的意義場景。例如，我們考慮先從一個切成 4 塊取走其中 1 塊，剩下的蛋糕如果再有 3 個人平均分會得到多少蛋糕，這樣的問題。從那裡面，我們可以複習一下分數除以整數，

• 接着，我們可以再鋪墊一個類似于分數除以什麼什麼分之一的例子。例如，我們考慮先從一個切成 4 塊取走其中 1 塊，剩下的蛋糕給孩子們吃，可以喂飽幾個小孩？如果我們假設8個孩子吃一個蛋糕就可以吃飽的話。于是，從假設我們先知道，每個小孩的肚子能夠裝這麼多蛋糕，

• 。

• 目前剩下的蛋糕呢，有

• 塊。那怎麼分呢？很簡單，動手切一下，就知道了，可以分成6個1/8的大小，也就是給6個孩子吃飽。從除法的意義也知道了，這個6相當于是下面的除法的答案（一個總量給每一個人分，已知每一個人需要多少，能夠分幾個人的問題，是除法。至于這個為什麼，學習除法的時候應該已經解決了的：除法來自于減法的簡便運算，就好像乘法是加法的簡便運算。），

• 這個時候，看具體情況，可以把計算過程和意義先嘗試聯系一下，也就是，如果用前面學到的計算過程，來驗證一下的話，這個來自于“動手切分”的等式對不對。

• 這個時候，再把場景進一步變得複雜一點，假設孩子們成了“高中的大肚王”，每個人需要吃三片那樣的小片蛋糕才能飽，問這個時候可以喂飽幾個人？于是，提示一下學生們，就有可能可以注意到，是把現在的三個孩子當做一個。那麼，就有了如下的計算

• 注意，這裡我們用了除法。那麼，整體來看，這個得數可以看做什麼問題的答案呢？

• 總結，我們看到了關鍵的幾步：第一，當分數除以整數的時候，就把整數放在最後的分母上就可以；第二，當分數除以分數，但是那個分數是什麼什麼分之一的之後，相當于把那個什麼什麼乘在分子上；第三，當分數除以一般的分數的時候，相當于在計算完了前一步什麼什麼分之一之後，再來計算一個除法。在這個過程中，我們都是用思考或者動手切分來得到答案的，而不是前面教過的計算過程。

• 因為大肚王的飯量是3/8。

最後，結合純粹計算的教學（再次提醒，裡面也有數學思想，每一個推理的步驟都要明确寫下來）和意義的教學（主要體現，數學是思考和表達的語言，數學解決實際問題），來驗證這個計算過程的結果和步驟，完全就是總結裡面提到的結果和步驟。換句話說，也就是要思考每一步算出來的東西是什麼，為什麼需要這樣來算，為什麼能夠這樣來算，這幾個問題。具體的數字都是可以變的，但基于是什麼得到的參與計算的東西之間的關系也就是為什麼能夠這樣算，是普适的（變式教學）。

順便，如果你仔細看我這個設計，主要的思想是：教學要反映數學是什麼，遇到有多個因素的問題需要把各個因素分離開來來讨論，最後再合起來，也就是分解和合成，或者說解構和建構。

閱讀理解題：問這裡的數學是什麼到底是什麼，作者是如何通過具體的例子來反映的，這裡的因素是什麼，作者是如何拆分和合成的，作者這樣做你覺得是為什麼，你同意嗎，對你自己的思考和教學有意義嗎？接着，我為什麼要出這幾個思考題，我是按照什麼原則（我多次提到的）來出這幾個問題的？

這個例子展示了，在教學環節的細節的層次如何使用概念地圖理解型學習，如何多問為什麼，如何關注大圖景（典型問題、典型思維方式、典型計算分析方法、典型應用的例子），如何運用WHWM（是什麼、怎麼構建、為什麼這樣構建、為什麼說這個、對讀者意味着什麼）。其他的例子還有在“吳金閃的工作和思考”博客站點上的帖子"小數加法的計算的例子"。

有的老師做了實驗。其中，有老師提出來，說沒有必要講分數和分數的除法，完全可以講整數除以分數，例如

隻要講清楚這個，由于放在前面的分數就不用有任何變化，推廣到分數很簡單。這是很有道理的。而且，确實使得理解分數除法更簡單了。很不錯的想法。

有另外的老師說，可以先把兩個分數通分（變成相同的分母），然後再同時去掉這個分母。這個第一不是理解型學習：更關注怎麼算，而不是為什麼這樣算。第二，這個認知難度非常大：通分需要用到最小公倍數，可是不容易；分子分母同時去掉某個因子值不變更是不容易。第三，完全沒有必要啊，通什麼分。

有老師幫我在學生中做了調查，發現，好多學生直接用了“分數除法計算要變成乘法，然後後面的分數需要換成倒數”，并且在提醒需要思考為什麼可以這樣計算的時候，給出來的理由關注的點往往是“倒數就是把分子分母颠倒啊”這樣的。這說明，學生真的很多時候不關注為什麼這樣算，而是怎麼算。當然，也有遇到了好的學生，能給出為什麼這樣算的思考。

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